static_casting ceil 的结果什么时候会影响结果？

Question

static_casting 从浮点到整数只是去掉了数字的小数点。例如static_cast<int>(13.9999999) 产生13。

并非所有整数都可以表示为浮点数。例如，在内部，与 13,000,000 最接近的 float 可能是：12999999.999999。

在这个假设的情况下，我希望得到一个意想不到的结果：

const auto foo = 12'999'999.5F;
const auto bar = static_cast<long long>(ceil(foo));

我的假设是，如果不一定在 13,000,000 次，这种崩溃确实会发生在某个时间点。我只想知道我可以信任static_cast<long long>(ceif(foo)) 的范围？

Answer 1

例如，在内部，最接近 13,000,000 的浮点数可能是：12999999.999999。

这在任何正常的浮点格式中都是不可能的。数字的浮点表示等价于M•b^e，其中b em> 是固定基数（例如，2 表示二进制浮点），M 和 e 是整数，它们的值有一些限制。为了表示像 13,000,000-x 这样的值，其中 x 是小于 1 的某个正值，e 必须为负（因为M•b^e 对于非负 e 是一个整数）。如果是这样，那么M•b⁰ 是一个大于M•b ^的整数e，所以大于13,000,000，所以13,000,000可以表示为M'•b⁰ ，其中 M' 是小于 M 的正整数，因此适合 M 的允许值范围（在任何普通浮点格式）。 （也许一些奇怪的浮点格式可能会在 M 或 e 上施加一个奇怪的范围来防止这种情况发生，但没有正常格式可以。）

关于您的代码：

auto test = 0LL;
const auto floater = 0.5F;

for(auto i = 0LL; i == test; i = std::ceil(i + floater)) ++test;

cout << test << endl;

当i 为 8,388,608 时，8,388,608 + .5 的数学结果为 8,388,608.5。这在您系统上的 float 格式中无法表示，因此它被四舍五入为 8,388,608。其中ceil 是 8,388,608。此时，test 为 8,388,609，因此循环停止。所以这段代码并没有证明 8,388,608.5 是可表示的，而 8,388,609 是不可表示的。

如果我这样做，行为似乎会恢复正常：ceil(8'388'609.5F)，它将正确返回 8,388,610。

8,388,609.5 在您的系统上无法以float 格式表示，因此它是按照“四舍五入，接近偶数”的规则进行四舍五入的。两个最接近的可表示值是 8,388,609 和 8,388,610。由于它们相距甚远，因此结果为 8,388,610。该值被传递给ceil，当然返回了 8,388,610。

在 Visual Studio 2015 上，我得到了 8,388,609，这是一个可怕的小安全范围。

在 IEEE-754 基本 32 位二进制格式中，从 -16,777,216 到 +16,777,216 的所有整数都是可表示的，因为该格式具有 24 位有效位。

Answer 2

Floating point numbers 由 3 个 整数 表示，cb^q 其中：

• c 是尾数（所以对于数字：12,999,999.999999 c 将是 12,999,999,999,999）
• q 是指数（所以对于数字：12,999,999.999999 q 将是 -6）
• b 是基数（IEEE-754 要求 b 为 10 或 2；在上面的表示中 b 是 10)

由此不难看出，具有表示 12,999,999.999999 能力的浮点也具有使用 c 表示 13,000,000.000000 的能力1,300,000,000,000 和 q -5。

这个例子有点做作，因为选择的 b 是 10，而在几乎所有实现中选择的基数都是 2。但值得指出的是，即使 b 为 2，q 也可以作为尾数的左移或右移。

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接下来让我们在这里讨论一个范围。显然，一个 32 位浮点数不能代表一个 32 位整数表示的所有整数，因为浮点数还必须表示很多更大或更小的数字。由于指数只是移动尾数，因此浮点数总是可以精确表示可以由其尾数表示的每个整数。给定传统的 IEEE-754 二进制基浮点数：

• 32 位 (float) 具有 24 位尾数，因此它可以表示 [-16,777,215, 16,777,215] 范围内的所有整数
• 64 位 (double) 具有 53 位尾数，因此它可以表示 [-9,007,199,254,740,991, 9,007,199,254,740,991] 范围内的所有整数
• A 128-bit (long double depending upon implementation) has a 113-bit mantissa so it can represent all integers in the range [-103,845,937,170,696,552,570,609,926,584,40,191, 103,845,937,170,696,552,570,609,926,584,40,191]

[source]

c++ 提供digits 作为为给定浮点类型查找此数字的方法。 （尽管不可否认，即使 long long 太小，也无法表示 113 位尾数。）例如，float 的最大尾数可以通过以下方式找到：

(1LL << numeric_limits<float>::digits) - 1LL

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在彻底解释完尾数之后，让我们重温指数部分，谈谈floating point is actually stored 的原理。以 13,000,000.0 为例，可以表示为：

• c = 13, q = 6, b = 10
• c = 130, q = 5, b = 10
• c = 1,300, q = 4, b = 10

等等。对于传统的二进制格式 IEEE-754 要求：

通过选择在所选字长和格式内保留最高有效位 (MSB) 的最小可表示指数，使表示变得唯一。另外，指数不直接表示，而是加了一个偏差，使得最小可表示的指数表示为1，0表示次正规数

如果我们的尾数有 14 个小数位，为了用更熟悉的 base-10 来解释这一点，实现如下所示：

• c = 13,000,000,000,000 所以 MSB 将用于表示的数字
• q = 6 这有点令人困惑，这是这里引入的偏差的原因；逻辑上 q = -6 但设置了偏差，以便当 q = 0 只有 c 的 MSB紧靠小数点左侧，表示 c = 13,000,000,000,000, q = 0, b = 10 将表示 1.3
• b = 10 上面的规则实际上只对 base-2 是必需的，但我已经展示了它们，因为它们将适用于 base-10 以进行解释

转换回base-2 这意味着numeric_limits<T>::digits - 1 的q 在小数点后只有零。 ceil 仅在数字中有小数部分时才有效。

这里的最后一点解释是ceil 将产生影响的范围。在浮点的指数大于numeric_limits<T>::digits 之后继续增加它只会在结果数字中引入尾随零，因此当q 大于或等于numeric_limits<T>::digits - 2LL 时调用ceil。由于我们知道 c 的 MSB 将用于数字，这意味着 c 必须小于(1LL << numeric_limits<T>::digits - 1LL) - 1LL 因此ceil 对传统二进制 IEEE-754 浮点数：

• 32 位 (float) 必须小于 8,388,607
• 64 位 (double) 必须小于 4,503,599,627,370,495
• 128 位（long double 取决于实现）必须小于 5,192,296,858,534,827,628,530,496,329,220,095