给定法线向量，在 3D 空间中的 2D 磁盘上生成随机点答案

【问题标题】：Generate random point on a 2D disk in 3D space given normal vector给定法线向量，在 3D 空间中的 2D 磁盘上生成随机点
【发布时间】：2013-10-12 17:47:49
【问题描述】：

有没有一种简单有效的方法可以在 3 维空间中“悬挂”的磁盘上生成随机（均匀分布）点？磁盘由其法线定义。

理想情况下，我想避免使用旋转矩阵，因为我不完全了解它们，而且我知道它们有问题。

到目前为止，我已经尝试生成一个 3D 单位向量并将其投影到磁盘的平面上，这确实确保了该点位于磁盘内，但不能确保它是均匀分布的。我还尝试根据其长度的某些函数缩放生成的向量，但无论如何我都无法得到均匀分布。

我有一个想法，即创建两个相互垂直且垂直于法线的向量来定义局部坐标系。然后我可以像在 2D 中一样在单位磁盘上生成一个点，并将结果转换回全局坐标系。这似乎会非常有效，因为它涉及一些预计算（我完全可以接受）并且之后只进行简单的计算（这是针对光线追踪器的，所以它会发生很多）。问题是，我不知道如何可靠地计算局部坐标系的基向量，同时避免可能出现的共线性问题。

非常感谢任何帮助。

【问题讨论】：

标签： math random 3d geometry linear-algebra

【解决方案1】：

计算法线 n = (a,b,c) 的平面的正交基向量 u, v 的简单方法是找到具有最小绝对值的分量，并使 u 与该分量正交；其余的几乎都紧随其后。例如，如果第一个分量是绝对值最小的分量，您可以选择这些基向量：

u = (0, -c, b)                //  n·u = -bc+cb = 0

v = (b²+c², -ab, -ac)         //  n·v = ab²+ac²-ab²-ac² = 0, u·v = abc-abc = 0

【讨论】：

谢谢，这正好解决了我的问题。澄清一下，我需要设置为0 的u 的组件是n 中最大的组件，对吗？是否因此，对于每个 3 向量，存在至少一个（两个？）对应的正交向量，该向量平行于由系统的轴定义的 3 个平面之一（因此其分量之一是 0）？
是的：法向量定义了一个平面，任何两个平面要么平行，要么沿着一条线交叉。相交线上的任何向量都平行于两个平面。
等一下...检查更新，例如，我写的内容会因 n = (1,0,0) 而中断，因为它会计算 u = v = (0,0, 0)。您应该选择 minimal 组件。
好收获！这种方法是连续的吗，也就是说，当法线向量被旋转时，我可以依靠它不会突然“翻转”其中一个基向量吗？
无论怎么调整都无法使函数连续这一事实一点也不明显，但这是"Hairy ball" theorem的推论。