从两组中选择一个数字，每组的乘积之和等于特定的总和

Question

我有两个集合，例如 A={0,1,2,...,i} 和 B={3,6,10,15}，一个常量 $s$ 和一个指定数字 $n$属于自然数集。 我想找到满足 a_1*b_1+a_2*b_2+\dots+a_n*b_n>=s

的 a/所有组合

例如，如果 s=25, n=2 以下每个答案都是可接受的 1*10+1*15 , 2*10+1*6 , 0+2*15 或 4*3+2*6

如果我没有第二组，那会很容易，因为问题减少到产生具有预定 sum 的随机分区，如 here 中介绍的那样

我应该如何在 python 中有效地实现这一点？有什么数学方法可以做到吗？ 它也让我想起了某种方程式，但我不确定我应该搜索什么。 我很感激任何提示。

编辑：对我来说，在我的答案中准确包含“n”个术语很重要，并且还有其他选择的机会。在我的示例中，四个答案中的每一个都应该有生成的机会。换句话说，我有“n”个地方用我的术语填充它们，使得它们的总和等于“s”。很抱歉没有一开始就清除它。

Answer 1

这可以通过直接递归来完成。

from functools import lru_cache

def find_combinations(numbers, threshold, nterms, maxcoeff, stringify=True):
    numbers = sorted(numbers, reverse=True)
    @lru_cache(None)
    def rec(k, s, n):
        if s > maxcoeff * numbers[k]:
            top = maxcoeff
            res = []
        else:
            top = (s-1) // numbers[k]
            res = [[top + 1]]
        if n > 1 and k < len(numbers)-1:
            for j in range(top, -1, -1):
                res.extend([[j, *subres] for subres in rec(
                    k+1, s-j*numbers[k], n-(j!=0))])
        return res
    if stringify:
        return [' + '.join(f'{c}\u2a2f{n}' for c, n in zip(sol, numbers) if c)
                for sol in rec(0, threshold, nterms)]
    else:
        return rec(0, threshold, nterms)

print(find_combinations({3, 6, 10, 15}, 25, 2, 2))

打印：

['2⨯15', '1⨯15 + 1⨯10', '2⨯10 + 1⨯6']

更新：允许numbers出现多次（这些都集中在一起，基本上是maxcoeff乘以每个数字的出现次数）：

def find_combinations_with_replacement(numbers, threshold, nterms, maxcoeff,
                                       stringify=True):
    numbers = sorted(numbers, reverse=True)
    @lru_cache(None)
    def rec(k, s, n):
        if s > maxcoeff * numbers[k] * n:
            return []
        top = (s-1) // numbers[k]
        res = [[top + 1]]
        if n > 1 and k < len(numbers)-1:
            for j in range(top, -1, -1):
                res.extend([[j, *subres] for subres in rec(
                    k+1, s-j*numbers[k], n - (j-1) // maxcoeff - 1)])
        return res
    if stringify:
        return [' + '.join(f'{c}\u2a2f{n}' for c, n in zip(sol, numbers) if c)
                for sol in rec(0, threshold, nterms)]
    else:
        return rec(0, threshold, nterms)

print(find_combinations_with_replacement({3, 6, 10, 15}, 25, 4, 1))

打印：

['2⨯15', '1⨯15 + 1⨯10', '1⨯15 + 2⨯6', '1⨯15 + 1⨯6 + 2⨯3', '3⨯10', '2⨯10 + 1⨯6', '2⨯10 + 2⨯3', '1⨯10 + 3⨯6', '1⨯10 + 2⨯6 + 1⨯3']