如何编写一个函数来生成随机数 0/1 使用另一个随机函数？

Question

如果我有一个名为 rand1() 的函数生成数字 0（30% 概率）或 1（70% 概率），如何编写一个生成数字 0 或 1 等概率的函数 rand2() 使用 rand1() ？

更新：

最后在Introduction to Algorithms (2nd)这本书上发现了这个问题（我已经买了这本书的中文版），Excercise 5.1-3，原来的问题是：

5.1-3 假设您要以概率 1/2 输出 0，以概率 1/2 输出 1。 您可以使用一个程序 BIASED-RANDOM，它输出 0 或 1。它 以某个概率 p 输出 1，以概率 1− p 输出 0，其中 0

解决方案是： （见：http://www.cnblogs.com/meteorgan/archive/2012/05/04/2482317.html）

要获得一个无偏的随机位，只需要调用 BIASED-RANDOM，调用 BIASED-RANDOM 两次。反复这样做，直到两个调用返回不同 值，当发生这种情况时，返回两个位中的第一个：

UNBIASED-RANDOM
while TRUE
do
x ← BIASED-RANDOM
y ← BIASED-RANDOM
if x != y
then return x

要查看 UNBIASED-RANDOM 以 1/2 的概率返回 0 和 1，请观察 给定迭代返回 0 的概率是

Pr {x = 0 and y = 1} = (1 − p)p ,

给定迭代返回 1 的概率为

Pr {x = 1 and y = 0} = p(1 − p) .

（我们依赖 BIASED-RANDOM 返回的位是独立的。）因此， 给定迭代返回 0 的概率等于它返回 1 的概率。 由于 UNBIASED-RANDOM 没有其他方法可以返回值，因此返回 0 和 1 每个概率为 1/2。

Answer 1

生成两个数字，a 和 b。

如果 a 为 0，b 为 1（21% 的机会），则生成 0。
如果a 为 1，b 为 0（21% 的几率），则生成 1。

对于所有其他情况（58% 的机会），只需生成一个新的 a 和 b 并重试。

Answer 2

如果您调用rand1 两次，获得[1 0] 和[0 1] 的机会相同，因此如果您返回每个不匹配对中的第一个（并丢弃匹配对），平均而言，您将获得，0.5(1 - p<sup>2</sup> - (1-p)<sup>2</sup>) 每个输入位的输出位（其中p 是rand1 返回1 的概率；在您的示例中为0.7）并且独立于p，每个输出位将为1，概率为0.5。

但是，我们可以做得更好。

与其丢弃匹配对，我们可以记住它们，希望它们后面跟着相反的匹配对 - 序列[0 0 1 1] 和[1 1 0 0] 的可能性也相同，并且我们可以再次返回第一位我们看到了这样一个序列（仍然输出概率为 0.5。）我们可以无限期地继续组合它们，寻找像 [0 0 0 0 1 1 1 1] 之类的序列。

我们可以走得更远——考虑输入序列[0 0 0 1] 和[0 1 0 0] 产生相同的输出 ([0])，但这两个序列的可能性也相同，因此我们可以提取额外的位的输出，对于第一种情况返回 [0 0] 和 [0 1] 第二个。不过，这就是它变得更加复杂的地方，因为您需要开始缓冲输出位。

这两种技术都可以递归应用，并达到无损的极限（即，如果rand1 的概率为 0.5，则平均每个输入位都有一个输出位。）

完整描述（包括数学）在这里：http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/coinflipext.pdf

Answer 3

你需要弄清楚你想要接近 50% 0 50% 1。

如果您将重复调用的结果添加到 rand1.如果结果为 0 或 2，则返回值为 0，如果为 1，则返回 1。（在代码中您可以使用模 2）

int val = rand1();   // prob 30%      0, and 70%      1

val=(val+rand1())%2; // prob 58%      0, and 42%      1  (#1 see math bellow)
val=(val+rand1())%2; // prob 46.8%    0, and 53.2%    1  (#2 see math bellow)
val=(val+rand1())%2; // prob 51.28%   0, and 48.72%   1
val=(val+rand1())%2; // prob 49.488%  0, and 50.512%  1
val=(val+rand1())%2; // prob 50.2048% 0, and 49.7952% 1

你明白了。所以由你决定你想要的概率有多接近。每次后续调用都会使您接近 50% 50%，但永远不会完全相等。

如果你想计算概率：

1

prob ((val+rand1()%2) = 0) = (prob(val = 0)*prob(rand1() = 0)) + (prob(val = 1)*prob(rand1() = 1)
                           = (0.3*0.3)+(0.7*0.7)
                           = 0.09 + 0.49
                           = 0.58
                           = 58%

prob ((val+rand1()%2) = 1) = (prob(val = 1)*prob(rand1() = 0)) + (prob(val = 0)*prob(rand1() = 1)
                           = (0.7*0.3)+(0.3*0.7)
                           = 0.21 + 0.21
                           = 0.42 
                           = 42%

2

 prob ((val+rand1()%2) = 0) = (prob(val = 0)*prob(rand1() = 0)) + (prob(val = 1)*prob(rand1() = 1)
                            = (0.58*0.3)+(0.42*0.7)
                            = 0.174 + 0.294
                            = 0.468
                            = 46.8%

 prob ((val+rand1()%2) = 1) = (prob(val = 1)*prob(rand1() = 0)) + (prob(val = 0)*prob(rand1() = 1)
                            = (0.42*0.3)+(0.58*0.7)
                            = 0.126 + 0.406
                            = 0.532
                            = 53.2%

Answer 4

rand2 函数下方将提供 50% 的概率出现 0 或 1。

#define LIMIT_TO_CALCULATE_PROBABILITY 10 //set any even numbers

int rand2()
{
    static int one_occurred = 0;
    static int zero_occured = 0;
    int rand_value = 0;
    int limit = (LIMIT_TO_CALCULATE_PROBABILITY / 2);

    if (LIMIT_TO_CALCULATE_PROBABILITY == (one_occured + zero_occured))
    {
        one_occured = 0;
        zero_occured = 0;
    }

    rand_value = rand1();   

    if ((1 == rand_value) && (one_occured < limit))
    {
        one_occured++;
        return rand_value;
    }
    else if ((0 == rand_value) && (zero_occured < limit))
    {
        zero_occured++;
        return rand_value;
    }
    else if (1 == rand_value)
    {
        zero_occured++;
        return 0;
    }
    else if (0 == rand_value)
    {
        one_occured++;
        return 1;
    }   
}