节点数与高度的关系答案

【问题标题】：Relationship between number of nodes and height节点数与高度的关系
【发布时间】：2013-08-07 09:31:58
【问题描述】：

我正在阅读算法设计手册。作者说一棵树的高度是：

h = log n, 
where 
h is height 
n = number of leaf nodes
log is log to base d, where d is the maximum number of children allowed per node.

他接着说完美平衡的二叉搜索树的高度是：

h = log n

我想知道第二个语句中的 n 是表示“叶节点的总数”还是“节点的总数”。

这带来了一个更大的问题，节点总数与完美平衡二叉搜索树的高度之间是否存在数学关系？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

当然，n = 2^h 其中h, n 分别表示树的高度和它的节点数。

校样草图：

完美平衡的二叉树有

关于完美平衡二叉树中的叶子节点：

由于叶子数是节点数减去高度减一的完全平衡二叉树中的节点数，所以叶子数是所有节点数的一半（准确地说是@的一半987654323@)。

所以h 仅变化 1，这通常不会在复杂性考虑方面产生任何实际差异。这种说法可以通过记住它相当于将单个节点树的高度定义为 0（标准）或 1（不寻常，但可能有助于将其与空树区分开来）来说明。

【讨论】：

那么可以肯定地说，这种高度-节点关系在本质上比精确的等式关系更渐近吗？
@QuestMonger：目前的关系是精确的。但是，在应用程序中，您肯定不会有完美平衡的二叉树，因为这需要节点数是 2 (-1) 的幂。确实存在有效的算法来保持平衡的二叉树，因为所有叶子的根路径的长度变化不超过 1。特别是与完美平衡的树相比，您不会失去效率。所以这个关系是尽可能精确的（在纯数学之外，你还是抽象掉了常数因子）。

【解决方案2】：

如果您谈论所有节点或仅谈论叶节点并不重要：任何一个都受上下约束，另一个乘以一个常数因子。在完全平衡的二叉树中，全层的节点数是上一层的所有节点数加一。

【讨论】：

【解决方案3】：

在一个完全二叉树中，节点数（n）和树高（h）有如下关系。

n = 2^(h+1) -1

这是树的所有节点

【讨论】：