当所有值都是非负数时，我们真的可以避免额外的空间吗？

Question

这个问题是我很久以前问过的another one的后续问题：

给定一个整数数组和另一个数字 k，我们需要找到总和等于 k ​​的连续子数组的总数。例如，对于输入：[1,1,1] 和 k=2，预期输出为 2。

在accepted answer，@talex 中说：

PS：顺便说一句，如果所有值都是非负数，那么会有更好的算法。它不需要额外的内存。

虽然当时我并没有想太多，但我现在很好奇。恕我直言，我们将需要额外的内存。如果所有输入值都是非负数，我们的运行（前缀）总和将继续增加，因此，当然，我们不需要unordered_map 来存储特定总和的频率。但是，我们仍然需要额外的内存（可能是unordered_set）来存储我们一路上得到的运行（前缀）总和。这显然与@talex 所说的相矛盾。

有人可以确认我们是否绝对确实需要额外的内存或者是否可以避免？

谢谢！

Answer 1

让我们从一个稍微简单的问题开始：所有值都是正数（没有零）。在这种情况下，子数组可以重叠，但不能相互包含。

即：arr = 2 1 5 1 1 5 1 2, Sum = 8

2 1 5 1 1 5 1 2
|---|
  |-----|
      |-----|
          |---|

但这种情况永远不会发生：

* * * * * * *
  |-------|
    |---|

考虑到这一点，算法不需要额外的空间（嗯..O(1) 空间）并且具有O(n) 时间复杂度。想法是有左右索引指示当前序列和当前序列的总和。

• 如果总和为k，则增加计数器，推进left 和right
• 如果总和小于k，则前进right
• 否则提前left

---

现在，如果有零，则间隔可以相互包含，但前提是零位于间隔的边缘。

适应非负数：

如上，除了：

• 前进时跳过零left
• 如果总和是k：
  • 计数right右侧的连续零，假设zeroes_right_count
  • 计数left 左侧的连续零。可以说zeroes_left_count
  • 不要像以前那样增加计数，而是将计数器增加：(zeroes_left_count + 1) * (zeroes_right_count + 1)

例子：

... 7 0 0 5  1  2 0 0 0 9 ...
          ^     ^
          left  right         

这里我们在左边有 2 个零，在右边有 3 个零。这使得 (2 + 1) * (3 + 1) = 12 序列和 8 在这里：

5 1 2
5 1 2 0
5 1 2 0 0 
5 1 2 0 0 0

0 5 1 2 
0 5 1 2 0
0 5 1 2 0 0 
0 5 1 2 0 0 0

0 0 5 1 2
0 0 5 1 2 0
0 0 5 1 2 0 0 
0 0 5 1 2 0 0 0

Answer 2

我认为这个算法可以工作，使用O(1) 空间。

我们维护两个指向当前子序列的开始和结束的指针，以及当前子序列的和。最初，两个指针都指向array[0]，而总和显然设置为array[0]。

推进结束指针（从而将子序列向右扩展），并将总和增加它指向的值，直到总和超过k。然后推进起始指针（从而从左边缩小子序列），并减少总和，直到总和低于k。继续这样做，直到结束指针到达数组的末尾。跟踪总和恰好是 k 的次数。