在 Leetcode 上解决加热器问题的时间复杂度

Question

从 Leetcode 上的一个热门问题中考虑这个 python 解决方案：

 def findOptimalRadius(houses, heaters):
        houses.sort()
        heaters.sort()
        last = len(heaters) - 1
        x1,x2 = 0,0
        res = 0
        for house in houses:
            while x2 < last and house > heaters[x2]:
                x1, x2 = x2, x2+1
            dist1,dist2 = abs(heaters[x1] - house), abs(heaters[x2] - house)
            res = max(res, min(dist1,dist2))
        return res

（给定 N 个房屋和 M 个加热器）

显然，如果我们在开始时对两个数组进行排序，则空间复杂度被认为是 O(N log N + M log M)，如果它们已经排序，则空间复杂度被认为是 O(N+M)。

但我不明白为什么 for 循环和嵌套的 while 循环只占 O(N+M)。

不应该是 O(N*M)，因为它们是嵌套的，而且在最坏的情况下，while 循环会遍历所有加热器？

感谢您帮助我了解在这种情况下如何计算时间复杂度

Answer 1

这是 O(N+M)，因为第二个循环对每个元素只运行一次。如果你注意到，x2 永远不会减少，它总是从最后一个状态继续并增加 1，所以当它达到值时，最后一个循环永远结束。因此，不是每次都通过阵列加热器中的每个元素，而是只通过一次，当它到达终点时，即使阵列房屋中仍有元素，while循环也不会启动。

至于你的直觉。如果对于阵列房屋中的每个元素，您将遍历每个加热器，那将是正确的，但事实并非如此。

请注意，嵌套循环并不意味着时间复杂度是 O(N*M)（在这种情况下）或 O(N^x)（x 是嵌套循环的数量）。您必须分析每个单独的循环在做什么。

编辑： 评论如下图：

N=20
M=15

i= current for loop element 
j= current while loop element

i=1 -> j = 1 , 2 , 3 , 4
i=2 -> j = 4 , 5
i=3 -> j = 5 , 6 , 7 , 8 
i=4 -> j = 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15
i=5 -> j = 15 (while loop is at its end so it won't be initiated)
i=6 -> j = 15 
 .
 .
 .
i=20 -> j = 15 

您可以注意到，当到达阵列加热器的末端时，while 循环将结束并且永远不会再次启动。所以while循环的复杂度是O(M)，for循环的复杂度是O(N)。由于不是为每个 i 重新启动 while 循环，而是从最后一个状态继续，所以总复杂度是 O(N+M) 而不是 O(N*M)。

试想一下，您只通过一次加热器中的每个元素，对于房屋也是如此（您永远不会重新访问某些元素）。

如果您为每所房子重新检查整个加热器阵列，那么复杂性确实是 O(N*M)。