优化一个简单的弹球求解器

Question

我正在尝试解决编程挑战，但只成功了一部分；我需要优化解决方案 - 这就是 你 的用武之地。首先，参数：

• 给你一些线段int x1, y1, x2, y2。
• 您将获得球的起点int px, py = INT_MAX。
• 您将模拟一个球从px, py 直接向下“掉落”（y 值较小）
  • 当它与一条线相交时，它会沿着这条线直到它的下端点
  • 当没有更多的线相交时，输出px。

所以，我的想法是：

• 将行读入行元组列表int xtop, ytop, xbot, ybot，
• 按ybot 对行进行排序。这使我们可以跳过球已通过的线，
• 跟踪索引imin 使得所有i < imin 的lines[i].ybot >= py，然后直到没有找到相交：
  • 最大化垂直相交yi = kx + m，
  • 设置px, py = lines[i].{x, y}bot。

问题是这个时间复杂度 ∈ θ(n²) - IOW，大输入很糟糕。

一个想法是使用k-d tree 之类的东西，但问题是计算哪些行进入哪些所谓的半空间是否不会很昂贵。

Answer 1

听起来您好像对point location in a planar subdivision 感兴趣。我链接到的平板分解方法是更简单的选择之一；简而言之，您从线段的每个端点延伸垂直线，形成 2n + 1 个垂直 slabs。对于每个板，您计算一棵二叉树，从上到下指示哪些线段穿过板。然后，要找到球击中的位置，确定它在哪个板中，然后它击中了哪个部分（如果有的话）；这两个操作都是 O(log n) 时间。

首先要计算二叉树，请使用扫描线算法。从一棵空二叉树开始，按 x 坐标的排序顺序处理端点。对于左端点，将段插入树中。对于右侧，将其从树中移除。假设段不交叉，则永远不需要在树中重新排序。天真地，我们必须在每一步之后复制树，但是将存储从 O(n^2) 降低到 O(n log n) 的一个简单策略是使用纯函数式红黑树，从而避免需要副本。

这种方法的总体运行时间和空间是 O(n log n)。