分解 99 位长的大素数的问题答案

【问题标题】：Issues factoring large prime that is 99 digits long分解 99 位长的大素数的问题
【发布时间】：2021-01-21 05:59:13
【问题描述】：

号码是112887987371630998240814603336195913423482111436696007401429072377238341647882152698281999652360869 我的代码如下

def getfactors(number):
    factors = []
    for potentialFactor in range(1 , int(math.sqrt(number)) + 1):
        if number % potentialFactor == 0:
            factors.append(potentialFactor)
    return factors

输入是

getfactors(112887987371630998240814603336195913423482111436696007401429072377238341647882152698281999652360869)

该程序已经运行了至少 3 个小时，但我仍然没有任何结果。该代码也适用于其他数字。有什么算法或方法可以用来加快速度吗？

【问题讨论】：

我不是因式分解算法方面的专家，但我知道整数分解是一个非常困难的问题（尽管尚未经过数学证明）实际上许多加密函数（如 RSA）取决于它的硬度，您提供的数字大约是329 位可能需要一些时间才能完成。
1.只测试能大大提高速度的素数 2. 每次你发现一个因子除以它并再次测试它（因为它也可以除以素数的幂），这将大大提高速度，因为你的数字会得到发现的每个因素都较小。 4. 记住所有因素以及使用了多少次。 5. 从素因数分解中，您可以将所有可能的因数构造为使用素因数的任意数量的组合。 IIRC 那里有一些基于 FFT 的方法。 5. 如果你的数是素数，那么它除了它自己和 1 之外没有其他因子！！！

标签： math encryption cryptography rsa prime-factoring

【解决方案1】：

由于 RSA 素数彼此接近，因此您的方法将花费大量时间来考虑给定的数字。即使sieving 使用埃拉托色尼筛法也无济于事，因为您有一个 326 位数字。你能不能筛到163位，没办法。这比第一个 300 位的 RSA challenge RSA-100 略大。

使用现有的库，如

CADO-NFS ; http://cado-nfs.gforge.inria.fr/
NFS 分解：http://gilchrist.ca/jeff/factoring/nfs_beginners_guide.html
保理即服务https://seclab.upenn.edu/projects/faas/

实验

我尝试了Pollard's p-1 algorithm，仍然运行了一天半，但还没有产生结果。这是预期的，因为B bound 必须在2^55 附近，成功概率为1/27。 CADO-NFS 成功后我停止了实验。这是自己实现的 Pollard 的p-1，可以在GMP-ECM 中找到优化的
尝试了 CADO-NFS。稳定版可能不容易为新机器编译，所以更喜欢GitLab中的活跃版本。

使用 4 个内核大约 6 小时后，CADO-NFS 产生了结果。正如预期的那样，这是一个 RSA CTF/挑战。因为我不想破坏乐趣；这里使用 SHA-512 的哈希承诺，使用 OpenSSL 执行；

echo -n "prime x" | openssl sha512

27c64b5b944146aa1e40b35bd09307d04afa8d5fa2a93df9c5e13dc19ab032980ad6d564ab23bfe9484f64c4c43a993c09360f62f6d70a5759dfeabf59f18386

faebc6b3645d45f76c1944c6bd0c51f4e0d276ca750b6b5bc82c162e1e9364e01aab42a85245658d0053af526ba718ec006774b7084235d166e93015fac7733d

实验详情

CPU : Intel(R) Core(TM) i7-7700HQ CPU @ 2.80GHz
内存：32GB - 不需要太多内存，至少在多项式选择和筛选期间。
专用核心：4
测试机Ubuntu 20.04.1 LTS
CUDA - 没有
gcc 版本 9.3.0 (Ubuntu 9.3.0-17ubuntu1~20.04)
cmake 版本 3.16.3
外部库：Ubuntu 规范中没有任何内容
CODA-NFS 版本：GitLab 开发版本克隆于 23-01-2021
位大小；
- n 有 326 位（RSA-100 挑战有 330 位，并在 1991 年被 Lenstra 打破）
- p 有 165 位
- q 有 162 位

cado-nfs-2.3.0 未编译并给出有关 HWLOC 的错误-HWLOC_TOPOLOGY_FLAG_IO_DEVICES。请朋友测试编译，它对他们有用。这是一个较旧的 Linux 版本。所以我决定使用GitLab version。

【讨论】：

不错。我建议您在答案中添加有关设置和操作方式的一些详细信息：CPU、RAM、操作系统、使用的确切 GitLab 版本、外部库的版本、编译器版本、使用的参数，以及您必须解决的任何问题。另外，因子的位大小

【解决方案2】：

你对这个号码了解多少？如果它是 RSA 公钥，那么它只有两个大素数。如果它是一个随机数，那么它很可能有小的素因数。数字的类型将决定您要如何对其进行因式分解。

两个辅助功能也将很有用。首先是一个埃拉托色尼筛，以建立一个质数列表，例如 50,000 或一些方便的限制。第二个大数素数检验，如 Miller-Rabin，检查余数是否为素数。

使用 Eratosthenes 的筛子为您提供所有小素数，直至达到方便的极限。依次测试每个素数，直至目标数的平方根。当你找到一个除以测试数的素数时，将测试数除以使其更小。一个素数可以分裂不止一次。完成所有除法后，将质数限制重置为较小数字的平方根。

if (numToTest MOD trialFactor = 0)
  repeat
    listOfFactors.add(trialFactor)
    numToTest <- numToTest/trialFactor
  until (numToTest MOD trialFactor != 0)
  primeLimit <- sqrt(numTotest)
endif

一旦您要测试的数字减少到 1，您就已经完全考虑了它。

如果您在完全分解目标之前用完了素数，则值得运行 Miller-Rabin 检验 64 次以查看余数本身是否为素数；这可能会为您节省大量试图找到不存在的大素数因子的工作。如果剩余部分是复合的，那么您可以使用更大的筛子再试一次，或者使用其中一种重型分解方法：二次筛、椭圆曲线等。

【讨论】：

【解决方案3】：

我为R 编程语言编写了一个库，名为RcppBigIntAlgos，它可以在合理的时间内分解这些类型的数字（不像@kelalaka 的答案中使用的优秀的CADO-NFS 库那样快)。

正如其他人所指出的，除非您投入大量时间，否则您自己推出的任何程序都很难计算您的数字。就我个人而言，我已经投入了数千小时。您的里程可能会有所不同。

这是我在原版 R 控制台（无特殊 IDE）中运行的测试：

numDig99 <- "112887987371630998240814603336195913423482111436696007401429072377238341647882152698281999652360869"
## install.packages("RcppBigIntAlgos") if necessary
library(RcppBigIntAlgos)

prime_fac <- quadraticSieve(numDig99, showStats=TRUE, nThreads=8)

Summary Statistics for Factoring:
    112887987371630998240814603336195913423482111436696007401429072377238341647882152698281999652360869

|      MPQS Time     | Complete | Polynomials |   Smooths  |  Partials  |
|--------------------|----------|-------------|------------|------------|
|  11h 13m 25s 121ms |   100%   |   11591331  |    8768    |    15707   |

|  Mat Algebra Time  |    Mat Dimension   |
|--------------------|--------------------|
|    1m 39s 519ms    |    24393 x 24475   |

|     Total Time     |
|--------------------|
|  11h 15m 12s 573ms |

就像@kelalaka 一样，我们获得了相同的哈希值（同样，在R 控制台中运行）：

system(sprintf("printf %s | openssl sha512", prime_fac[1]))
faebc6b3645d45f76c1944c6bd0c51f4e0d276ca750b6b5bc82c162e1e9364e01aab42a85245658d0053af526ba718ec006774b7084235d166e93015fac7733d

system(sprintf("printf %s | openssl sha512", prime_fac[2]))
27c64b5b944146aa1e40b35bd09307d04afa8d5fa2a93df9c5e13dc19ab032980ad6d564ab23bfe9484f64c4c43a993c09360f62f6d70a5759dfeabf59f18386

RcppBigIntAlgos::quadraticSieve 中实现的算法是Multiple Polynomial Quadratic Sieve。有一个更有效的二次筛版本，称为Self Initializing Quadratic Sieve，但是，在野外没有那么多文献可用。

这是我的机器规格：

MacBook Pro (15-inch, 2017)
Processor: 2.8 GHz Quad-Core Intel Core i7
Memory; 16 GB 2133 MHz LPDDR3

这是我的R 信息：

sessionInfo()
R version 4.0.3 (2020-10-10)
Platform: x86_64-apple-darwin17.0 (64-bit)
Running under: macOS Catalina 10.15.7

Matrix products: default
BLAS:   /System/Library/Frameworks/Accelerate.framework/Versions/A/Frameworks/vecLib.framework/Versions/A/libBLAS.dylib
LAPACK: /Library/Frameworks/R.framework/Versions/4.0/Resources/lib/libRlapack.dylib

locale:
[1] en_US.UTF-8/en_US.UTF-8/en_US.UTF-8/C/en_US.UTF-8/en_US.UTF-8

attached base packages:
[1] stats     graphics  grDevices utils     datasets  methods   base     

other attached packages:
[1] RcppBigIntAlgos_1.0.1 gmp_0.6-0            

loaded via a namespace (and not attached):
[1] compiler_4.0.3 tools_4.0.3    Rcpp_1.0.5

【讨论】：

很好，库在计算过程中是否使用了所有 8 个线程？请注意，CADO-NFS 也可以通过网络工作。
@kelalaka，首先，感谢您的编辑。那是一个粗心的疏忽。关于实现：对于算法的筛选部分，无论用户指定多少线程都将被使用（直到该机器上可用的最大线程数）。在这个阶段，每个线程筛选不同的多项式并收集信息。每个线程都会定期暂停并将信息转储到一个中心位置。
@kelalaka，我应该注意，在我的机器上，我有 4 个可用于超线程的内核，所以我可以使用 8 个线程。通常，您将看到最大化内核数量的最大性能优势。在那之后，会有一些好处，但由于缓存污染（即多个线程共享同一个缓存）而没有那么明显。
没有问题。在我的机器（4x2）上也是这样，我选择了 4 核但没有将性能与 8 进行比较。现在想知道，我会检查一下，然后也会通知你。