在尝试为 RSA 实现计算 D 时，D 总是为负数答案

【问题标题】：While attempting to calculate D for an RSA implementation, D always comes out negative在尝试为 RSA 实现计算 D 时，D 总是为负数
【发布时间】：2017-09-22 17:59:15
【问题描述】：

我正在尝试使用扩展欧几里得算法计算 RSA 的 d。然而，每次我跑进去，结果都是负面的。

这是算法的代码，假设 a 是 phi，e 是 65537：

BigInteger exEuc(BigInteger a, BigInteger b){
    BigInteger x = 0;
    BigInteger prevX = 1; //holds the previous value of x
    BigInteger y = 1;
    BigInteger prevY = 0; //holds the previous value of y
    BigInteger temp, q;
        while(b != 0){
            q = a / b;
            temp = b;
            b = a % b;
            a = temp;
            temp = x;
            x = prevX-q*x;
            prevX = temp;
            temp = y;
            y = prevY-q*y;
            prevY = temp;
      }
      return prevY; //this ends up being d
}

我已经使用 e*d mod phi 测试了结果，它给出了预期的 1，但我知道 d 不应该是负数。知道这里出了什么问题吗？

【问题讨论】：

您是否尝试过使用 unsigned 大数字？还是将其打印为 无符号 数字？
您是否尝试过使用调试器单步执行您的代码，以找出结果为负数的位置以及原因？
是的，这就是欧几里得算法的工作方式。对于计算逆运算，您总是需要正余数，you need to add b to the answer if it is negative。
当我添加一个 OR b 时，数字仍然是负数，并且在这两种情况下，我尝试时 e*dmodphi=1 测试都失败
我不是你说的那样，但如果你将phi 添加到 d 中，它将是正数，并且 e*d 将等于 1 mod phi。

标签： c++ encryption rsa

【解决方案1】：

扩展欧几里得算法的实现没有任何问题，正如它为加密指数 e 提供正确的模逆 d 的事实所示。

但是，对于 RSA，您确实需要 d 的正值。为此，只需让：

d = exEuc(phi, e) % phi;

假设您的 BigInteger 库的 % 运算符始终返回非负结果。如果不是这样，那么至少结果应该大于-phi，在这种情况下你可以简单地这样做：

d = exEuc(phi, e) % phi;
if ( d < 0 ) d += phi;

之所以有效，是因为在modular arithmetic 中，模数的加减（整数倍）不会改变数字的同余类。特别是，如果(d*e) % phi == 1，那么也是((d+phi)*e) % phi == 1。

顺便说一句，您可以对exEuc() 代码进行一些优化。第一个是你实际上并没有使用 x 和 prevX 值来做任何事情，所以你可以完全摆脱它们，就像这样：

BigInteger exEuc(BigInteger a, BigInteger b){
    BigInteger y = 1;
    BigInteger prevY = 0; //holds the previous value of y
    BigInteger temp, q;
        while(b != 0){
            q = a / b;
            temp = b;
            b = a % b;
            a = temp;
            temp = y;
            y = prevY-q*y;
            prevY = temp;
      }
      return prevY; //this ends up being d
}

第二个优化是，因为我们只对结果模 phi 感兴趣，我们实际上可以在计算过程中随时减少 y 模 phi 以防止它变得太大（或否定！）：

// calculate the modular inverse of x modulo m
BigInteger modInv(BigInteger x, BigInteger m){
    BigInteger a = x, b = m;
    BigInteger y = 1;
    BigInteger prevY = 0; //holds the previous value of y
    BigInteger temp, q;
        while(b != 0){
            q = a / b;
            temp = b;
            b = a % b;
            a = temp;
            temp = y;
            y = (prevY-q*y) % m;
            prevY = temp;
      }
      if ( prevY < 0 ) prevY += m;  // may or may not be necessary
      return prevY; // this ends up being d
}

（请注意，我重命名了函数及其参数，以便更好地描述优化版本的实际作用。另外请注意，我包括了一个额外的测试，以确保即使您的 BigInteger 库的返回值也不会为负% 运算符可能返回负值。）

【讨论】：