自动机理论：DFA的存在[关闭]

Question

我需要证明，对于每个 k，都有一个具有 k+2 个状态的 DFA M，因此在每个接受语言 reverse(L(M)) 的自动机 M' 中，至少有 2^k 个状态。

非常感谢您的帮助。

谢谢:)

Answer 1

假设字母集至少包含两个元素，则设为{0,1}。

接下来，让M 成为接受语言L 定义为的自动机：

第k个位置为1的所有字符串

定义为：

M = {Q,{0,1},q₀,{q_k+1},δ}，其中

Q={q₀,q₁,...,q_k,q_F}

δ(q_i,a) = q_i+1，对于 {0,1} 中的 a 和 i=0,1,...,k -2

δ(q_k-1,0) = q_F,

δ(q_k-1,1) = q_k,

δ(q_F,a) = q_F，对于 {0,1}

中的 a

请注意，M 恰好具有 k+2 状态，并且它接受语言 L。

现在，请注意语言reverse(L(M)) 可以翻译为：

从末尾开始第k个位置为1的所有字符串

要识别该语言，请注意我们需要记住最后 k 个符号，因为我们不知道字符串何时结束。我们知道至少有 2^k 个可能的长度为 k 的字符串（因为字母表大小至少为 2）。

所以使用 DFA，我们至少需要 2^k 个状态，每个状态代表一个可能的长度为 k 的字符串。 _▢

作者注：

这个证明的想法是找到一种以正常方式“容易”识别但向后阅读时“困难”的语言。通过经验，我记得从开始开始固定第k个位置是“容易的”，而从结束开始第k个位置是“困难”，因此我的回答。