是否找到一个与其他给定子集 NP-hard 精确切割的子集？

【问题标题】：Is finding a subset with exact cut with other given subsets NP-hard?是否找到一个与其他给定子集 NP-hard 精确切割的子集？
【发布时间】：2015-05-04 08:41:07
【问题描述】：

我试图弄清楚以下问题是否是 NP 难题：

Given  G_1,..,G_n subsets of {1..m}
       c_1,..,c_n non-negative integers in {0..m}
Find   T subset of {1..m}
S.T.   for all i=1..n, T intersects G_i in exactly c_i elements

我试图找到 NP 问题（例如 coloring）或 P 问题（例如 matching）的简化方法，但在这两种情况下都可以考虑指数转换算法（即考虑到所有大小为 c_i 的 G_i 子集，这对我没有多大帮助:(

附注：对参数的任何限制会使这个问题变得更容易吗？
例如，m 是否会产生计算上的差异（我们仍然会在 m 中寻找多项式算法）？如果我们知道一些常量 c_i 是零怎么办？

希望有任何见解:)

【问题讨论】：

我想你是在问它是否在 NP-Hard 中，而不是 NP。 NP 是任何可以在非确定性图灵机上进行多项式求解的算法（或替代定义，给定一个解决方案，您可以有效地检查该解决方案是否正确）。
是的，当然，谢谢。已更正。

标签： algorithm complexity-theory combinatorics computation-theory

【解决方案1】：

这是 NP 完全问题，是Hitting Set Problem 的推广。 NP-完全性证明如下。

问题在 NP 中（微不足道 - 给定一个解 T，很容易检查与每个 Gi 的交集，并验证其大小是否为 Ci）。

它也是 NP-Complete，假设您正在寻找 minimal 例如 T，从 Exact Hitting Set Problem 减少：

其中精确命中集的决策问题是：

给定一组元素 U、子集 S1,...,Sk 和一个数字 m - 是否有一个子集 S 的 U 的大小最多为 m 包含每个Si 中只有一个元素？

给定命中集问题(S1,S2,...Sk,d) 的实例 - 用Gi=Si, ci = 1 将其简化为这个问题，如果这个问题的最小解的大小为d，那么还有一个大小为@的精确命中集的解决方案987654335@（反之亦然）。

【讨论】：