两个自动机之间的等价答案

【问题标题】：Equivalence between two automata两个自动机之间的等价
【发布时间】：2011-08-01 22:04:03
【问题描述】：

确定两个自动机之间等价的最好或最简单的方法是什么？

即，如果给定两个有限自动机 A 和 B，我如何确定两者是否识别相同的语言？

它们都是确定性的或都是非确定性的。

【问题讨论】：

你应该用 [homework] 标记你的作业。这使我们更容易提供适当的帮助。您应该提供您的最佳答案，以便我们对其发表评论。请不要要求我们为您做作业。那你学什么？
这应该是cstheory.stackexchange.com
什么是“等效”？你说他们产生相同的语言。你的意思是图是同构的？
DFA = AFD, NFA = AFN, NFA-lambda = AFN-lambda
@patrick 自动机不生成语言，自动机识别语言

【解决方案1】：

另一种更简单的方法是对自动机进行补充和相交。自动机A 等价于B iff L(A) 包含在L(B) 中，反之亦然，即如果L(B) 和L(A) 的补集之间的交集为空，反之亦然。

这是检查L(A)是否包含在L(B)中的算法：

补充：首先，使用子集构造确定B。然后，使每个接受状态为拒绝，每个拒绝状态为接受。你会得到一个自动机，它可以识别L(B) 的补码。
交集：构造一个自动机，它可以识别作为L(B) 和L(A) 的补集的交集的语言。即，为步骤 1 中的自动机与A 的交集构造一个自动机。要使两个自动机 U 和 V 相交，您需要构造一个状态为 U x V 的自动机。自动机从状态 (u,v) 移动到带有字母 a 的 (u',v')，如果在 U 和 V 中存在转换 u --a--> u' 和 v --a--> v'。接受状态是状态(u,v)，其中u 接受U，v 接受V。
在步骤 2 中构建自动机后，所需要做的就是检查空性。即，是否有自动机接受的词。这是最简单的部分——使用 BFS 算法在自动机中找到从初始状态到接受状态的路径。

如果L(A) 包含在L(B) 中，我们需要运行相同的算法来检查L(B) 是否包含在L(A) 中。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果两个非确定性有限自动机 (NFA) 接受相同的语言，则它们是等价的。

为了确定它们是否接受相同的语言，我们查看每个 NFA 都有一个最小 DFA 的事实，其中没有两个状态是相同的。最小 DFA 也是独一无二的。因此，给定两个 NFA，如果你发现它们对应的最小 DFA 是等价的，那么这两个 NFA 也一定是等价的。

要深入研究此主题，我强烈建议您阅读An Introduction to Formal Language and Automata。

【讨论】：

另一种方法是为 NFA 生成任何 DFA（例如，通过子集构造），计算两个 DFA 之一的补集（例如，通过使接受状态拒绝，反之亦然），构建笛卡尔积机器并测试交集以查看它是否接受空语言（例如，通过测试长度不超过 n 的字符串）。我不会称之为高效，但您仍然需要在 Stargazer712 的答案的输出上测试图同构。
@Patrick87 确定足够的 n 可能并不容易，或者是否有一些算法可以计算它？需要测试图同构是什么意思？
@Patrick：我认为确定两个最小 DFA 的等价性应该很容易，只需以相同的顺序通过两者进行 BFS。由于相应的边应该用相同的字符标记，因此只需按这些字符对每个状态的传出边进行排序。
@Patrick87：DFA 等效性要容易得多。为不超过 k 个字符的所有输入定义状态的等价关系 Q[k]。两个状态在 Q[k+1] 中，如果对于任何给定的输入字符，它们都将进入在 Q[k] 中等价的状态。如果机器有 n 个状态，则在 n 个字符内无法区分的两个状态对于任何输入都将无法区分，因此是等价的。即使是该算法的一个非常糟糕的幼稚实现，最坏的情况也是 O(n^3)，所以它显然不是 NP-hard。
@GeorgesDupéron，很公平。我从答案中删除了该段落，因为它没有必要，甚至也没有回答原始问题。任何研究这个主题的人都应该非常熟悉将 NFA 简化为 DFA 的技术。

【解决方案3】：

我只是改写@Guy的答案。

要比较两者都接受的语言，我们必须弄清楚是否L(A) is equal to L(B)。

因此，您必须确定L(A)-L(B) and L(B)-L(A) 是否设置为空。（原因1）

第 1 部分：

为了找出答案，我们从 NFA A 和 NFA B 构造 NFA X，。

如果 X 为空集，则 L(A) = L(B) 否则 L(A) != L(B)。（原因2）

第 2 部分：

现在，我们必须找到一种有效的方法来证明或反驳X is empty set。 X 什么时候会为 DFA 或 NFA 为空？答：当没有从 X 的起始状态到任何最终状态的路径时，X 将为空。我们可以使用 BFS 或 DFS。

原因1：如果两者都设置为空，则L(A) = L(B)。

原因2：我们可以证明一组正则语言在交集和并集下是封闭的。因此，我们将能够有效地创建 NFA X。

对于集合：

【讨论】：