函子和内函子之间的区别

Question

有人可以简单地解释一下两者之间的区别吗？我不完全理解单子是内函子而不是函子的部分。

Answer 1

一个函子可以从一个类别转到另一个类别，内函子是一个起点和目标类别相同的函子。

与内同态与态射相同。

现在，为什么单子必须是内函子？

有一句名言：“Monads 只是内函子范畴中的幺半群”。幸运的是，其他人已经很好地解释了in this answer。

monad 必须是 endofunctor 的关键点在于，join（在 Haskell 中称为）或µ（通常在范畴论中称为）是 monad 定义¹的一部分.现在

Prelude Control.Monad> :t join
join :: Monad m => m (m a) -> m a

所以将仿函数 m 应用于对象（在 Hask 中，Haskell 类型作为对象和函数作为态射的范畴）的结果必须是 m 可以再次应用于的对象。这意味着它必须属于函子m 的域类别。

只有当它的域和codomain 相同时[严格来说，如果它的codomain 是它的域的子类]，一个函子才能与它自己组合，换句话说，如果它是一个endofunctor。由于与自身的可组合性是 monad 定义的一部分，因此 monad 更何况是内函子。

¹ 一种定义，可以使用(>>=) 或bind 定义一个monad，并将join 作为派生属性。