集合、函子和 Eq 混淆

Question

最近出现了一个关于 Sets 的讨论，它在 Scala 中支持 zip 方法以及这如何导致错误，例如

scala> val words = Set("one", "two", "three")
scala> words zip (words map (_.length))
res1: Set[(java.lang.String, Int)] = Set((one,3), (two,5))

我认为很明显Sets 不应该支持zip 操作，因为元素没有排序。但是，有人建议问题在于Set 并不是真正的函子，也不应该有map 方法。当然，你可以通过映射一个集合给自己带来麻烦。现在切换到 Haskell，

data AlwaysEqual a = Wrap { unWrap :: a }

instance Eq (AlwaysEqual a) where
    _ == _ = True

instance Ord (AlwaysEqual a) where
    compare _ _ = EQ

现在在 ghci 中

ghci> import Data.Set as Set
ghci> let nums = Set.fromList [1, 2, 3]
ghci> Set.map unWrap $ Set.map Wrap $ nums
fromList [3]
ghci> Set.map (unWrap . Wrap) nums
fromList [1, 2, 3]

所以Set 不满足函子定律

    fmap f . fmap g = fmap (f . g)

可以说这不是maps 上map 操作的失败，而是我们定义的Eq 实例的失败，因为它不遵守替换法则，即对于 A 和 B 上的两个 Eq 实例和一个映射 f : A -> B 然后

    if x == y (on A) then f x == f y (on B)

不适用于AlwaysEqual（例如考虑f = unWrap）。

对于Eq 类型，我们应该尽量尊重替代法吗？当然，我们的AlwaysEqual 类型尊重其他平等法则（对称性、传递性和自反性得到微不足道的满足），所以替换是我们唯一可能遇到麻烦的地方。

对我来说，substition 似乎是Eq 类的一个非常理想的属性。另一方面，recent Reddit discussion 上的一些 cmets 包括

“替换似乎比必要的要强，基本上是对类型进行商化，对使用该类型的每个函数提出要求。”

-- godofpumpkins

“我也真的不想要替换/全等，因为我们想要等同但在某种程度上可以区分的值有许多合法用途。”

-- sclv

“替换仅适用于结构平等，但没有任何东西坚持 Eq 是结构性的。”

-- edwardkmett

这三个在 Haskell 社区中都很有名，所以我会犹豫反对他们并坚持我的 Eq 类型的可替代性！

另一个反对 Set 是 Functor 的论点 - 人们普遍认为 Functor 允许您在保留形状的同时转换“集合”的“元素”。例如，Haskell wiki 上的这句话（注意 Traversable 是 Functor 的概括）

“Foldable 使您能够通过结构处理元素但丢弃形状，Traversable 允许您在保留形状的同时做到这一点，例如，放入新值。”

“Traversable 是关于保持原样的结构。”

在现实世界中的 Haskell

"...[A] 函子必须保持形状。集合的结构不应受到函子的影响；只有它包含的值应该改变。"

显然，Set 的任何仿函数实例都有可能通过减少集合中的元素数量来改变形状。

但似乎Sets 真的应该是函子（暂时忽略Ord 的要求 - 我认为这是我们希望有效使用集合的人为限制，而不是任何绝对要求例如，函数集是一个非常明智的考虑。无论如何，Oleg has shown 如何为不需要 Ord 约束的 Set 编写高效的 Functor 和 Monad 实例。它们的用途太多了（不存在的Monad 实例也是如此）。

谁能收拾这个烂摊子？ Set 应该是 Functor 吗？如果是这样，如何处理违反函子定律的可能性？ Eq 的法则应该是什么，它们如何与 Functor 和 Set 实例的法则相互作用？

Answer 1

另一个反对 Set 是 Functor 的论点 - 人们普遍认为，作为 Functor 允许您在保留形状的同时转换“集合”的“元素”。 [...] 显然，Set 的任何函子实例都有可能通过减少集合中的元素数量来改变形状。

恐怕这是一个将“形状”类比作为定义条件的情况，而不是。从数学上讲，有幂集函子这样的东西。 From Wikipedia:

幂集： 幂集函子 P : Set → Set 将每个集合映射到其幂集，并将每个函数 f : X → Y 映射到发送 U 的映射⊆ X 到它的图像 f(U) ⊆ Y.

函数 P(f)（幂集仿函数中的fmap f）不保留其参数集的大小，但这仍然是一个仿函数。

如果你想要一个考虑不周的直观类比，我们可以这样说：在一个像列表这样的结构中，每个元素都“关心”它与其他元素的关系，如果假函子这样做，就会被“冒犯”打破这种关系。但是集合是极限情况：一个结构，其元素彼此无关，因此您几乎无法“冒犯”它们；唯一的问题是，如果假函子将包含该元素的集合映射到不包括其“声音”的结果。

（好吧，我现在就闭嘴……）

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编辑：当我在答案的顶部引用您时，我截断了以下位：

例如，Haskell wiki 上的这句话（注意 Traversable 是 Functor 的概括）

“Foldable 使您能够通过结构处理元素但丢弃形状，Traversable 允许您在保留形状的同时做到这一点，例如，放入新值。”

“Traversable 是关于保持原样的结构。”

这里我想说Traversable 是一种专业 Functor，而不是它的“概括”。关于任何Traversable（或者实际上，关于Foldable，Traversable 扩展）的关键事实之一是它要求任何结构的元素具有线性顺序——您可以将任何Traversable 转换为其元素列表（带有Foldable.toList）。

关于Traversable 的另一个不太明显的事实是存在以下函数（改编自Gibbons & Oliveira, "The Essence of the Iterator Pattern"）：

-- | A "shape" is a Traversable structure with "no content," 
-- i.e., () at all locations.
type Shape t = t ()

-- | "Contents" without a shape are lists of elements.
type Contents a = [a]

shape :: Traversable t => t a -> Shape t
shape = fmap (const ())

contents :: Traversable t => t a -> Contents a
contents = Foldable.toList

-- | This function reconstructs any Traversable from its Shape and
-- Contents.  Law:
--
-- > reassemble (shape xs) (contents xs) == Just xs
--
-- See Gibbons & Oliveira for implementation.  Or do it as an exercise.
-- Hint: use the State monad...
--
reassemble :: Traversable t => Shape t -> Contents a -> Maybe (t a)

集合的Traversable 实例将违反提议的定律，因为所有非空集合将具有相同的Shape——Contents 的集合是[()]。由此应该很容易证明，每当您尝试 reassemble 一个集合时，您只会得到空集合或单例。

上课？ Traversable“保持形状”比Functor 更具体、更强烈。

Answer 2

Set“只是”一个函子（不是 Functor）来自 Hask 的子类别，其中 Eq 是“nice”（即全等、替换、成立的子类别）。如果约束类型是从回溯，那么 set 可能是某种Functor。

Answer 3

好吧，Set 可以被视为协变函子，也可以被视为逆变函子；通常它是一个协变函子。为了让它在平等方面表现得很好，必须确保无论实现什么，它都能做到。

关于 Set.zip - 这是无稽之谈。以及 Set.head （你在 Scala 中有它）。它不应该存在。