我有点困惑，需要有人帮我弄清楚。让我们概述一下我目前的理解：
其中E 是一个内函子，A 是某个类别：
E : A -> A.
既然 Haskell 中的所有类型和态射都属于 Hask 范畴，那么 Haskell 中的任何 functor 不也是 endofunctor 吗？ F : Hask -> Hask.
我有一种很好的感觉，我错了，并且不知何故过于简单化了，我希望有人告诉我我是多么的白痴。谢谢。
【问题讨论】：
E...”之前是否缺少某些单词？
标签： haskell functor category-theory
您可能想澄清您是在问“Haskell 中的函子”，还是Functors。当在 Haskell 中使用类别理论术语时，并不总是很清楚所假设的类别。
但是，是的，默认假设是 Hask，它被认为是具有函数作为态射的 Haskell 类型的范畴。在这种情况下，Hask 上的内函子 F 会将任何类型 A 映射到类型 F(A) 并将任何类型 A 和 B 之间的函数 f 映射到函数 F( f) 在某些类型 F(A) 和 F(B) 之间。
如果我们将自己限制为仅将任何类型a 映射到类型(f a) 的那些内函子，其中f 是类型为* -> * 的类型构造函数，那么我们可以将函数的关联映射描述为类型为(a -> b) -> (f a -> f b)的高阶函数，当然也就是叫Functor的类型类。
然而，人们可以很容易地想象 Hask 上表现良好的内函子，它不能（直接）写为 Functor 的实例，例如将类型 a 映射到的函子Either a t。虽然从 Hask 到其他类别的函子显然没有多大意义，但考虑从 Hask 到 Hask 的（逆变）函子是合理的强>操作。
除此之外，Functor 的实例必然会从整个类别 Hask 映射到它的某个子集，因此也构成一个类别。但是，在 Hask 的子集之间讨论 个函子也是合理的。例如，考虑一个将类型 Maybe a 发送到 [a] 的函子。
您可能希望仔细阅读 category-extras package，它提供了一些嵌入在 Hask 中的受范畴理论启发的结构，而不是假设它的全部。
【讨论】：
forall a. Maybe a -> [a] 的函数都必须是自然转换。例如，Data.Maybe 中的maybeToList 是（或充分描述）你提到的一切，我相信，但我自己对范畴论的理解相当有限，所以不要把它当作福音......
a 映射到类型 (a -> t) （对于某些固定的 t）和任何函数 a -> b 映射到函数 (b -> t) -> (a -> t)。这是标准Functor 映射a 到(t -> a) 的对偶，用于固定t，更广为人知的是Reader monad。
即使最终你操纵了Hask，还有很多其他类别可以建立在Hask 之上，这对于手头的问题可能很有意义：
Hask^op，即Hask，所有箭头都颠倒了Hask * Hask，上面的函子是 bifunctors
a的态射，态射是交换三角形获取一份 Mac Lane 的 Categories for the Working Mathematician 以获得定义，并尝试自己找出他们在 Haskell 中解决的问题。特别是伴随函子（它们是正确类别中的初始/终止对象）及其与单子的关系。
您会看到，即使有一个大类别（Hask，或者可能是“使用右箭头/产品/...从 Hask 提升对象”，它封装了 Haskell 的语言选择，例如非严格性和惰性），适当的派生类别具有表现力。
【讨论】：
在论文“Monads need not be endofunctors”中发现了一个可能相关（或至少有趣）的专门关于 monad 的讨论：
【讨论】：
Monad 类型类是一个更狭窄的概念，两者的方式与我为 Functor 描述的方式相同并且由于 Hask 的极具侵入性的笛卡尔封闭结构导致了一些额外的并发症。