我想计算这两种算法的 T(n)

Question

我想知道以下两种算法的时间复杂度

void main (){-----------------------------------------T(n)
for(int a=1 ; a<=20 ; a++) {------------?
if(a%2==0)  -------------?
    cout<<"value is Even"; --------?
   else 
     cout<<"value is Odd";--------?
}

}

void main (){-----------------------------------------T(n)
int x=1; {------------?
int a=1;  -------------?
   while(a<=n){--------?
   x=x*a; -------------?
   a=a+2; -------------? 

}
cout<<x;
}

Answer 1

我们的想法是计算一段代码（通常是某种算法）的执行时间如何取决于输入。如果一个函数将 N 作为输入，如果 N=5 或 N=10，执行需要多长时间。需要双倍的时间吗？会需要同样的时间吗？还是需要两倍以上？

在你的情况下：

第一个程序不依赖任何输入，所以它是 O(n)=1。

你的第二个程序依赖于 n。由于 a = a + 2，它会做 n/2 次相同的事情。所以它是 O(n)=n/2。然而，常量通常会被跳过，人们会写成 O(n) = n。

如果你有这样的代码：

for (a=0; a < n; a++)
{
     // n times here
     for (b=0; b<n; b++)
     {
        // n times here

        // do something
     }
 }

执行时间将更改为 n^2，因为两个循环都将迭代 n 次。每执行一次外循环，内循环就执行n次。由于外部循环执行 n 次，因此您有 n*n。所以 O(n) = n^2

Answer 2

计算复杂度

您需要添加正在执行的基本操作/机器指令。 （作为输入大小的函数）

第一种情况

void main ()
{
for(int a=1 ; a<=20 ; a++)
      |         |      |
     c1         c2     c3
{
if(a%2==0) --c4 (the cost of whole if-else construct)               
    cout<<"value is Even"; 
   else 
     cout<<"value is Odd";
}

}

c1,c2,c3,c4 是执行与这些结构相对应的机器指令的成本（如 a

Look carefully the cost is
 = c1+ c2*(20+1) + c3*20+c4*20;
 = c1+21*c2+20*c3+20*c4
 = constant.

So, T(n)=O(1)

为什么是 20+1？哦！那是因为最后一次检查实际上是a=21。

第二种情况

对于这段代码，类似地检查一下

void main ()
{
 int x=1;--c1
 int a=1;--c2
   while(a<=n)--c3
   {
   x=x*a; --c4
   a=a+2; --c5
   }
cout<<x;  --c6
}

现在成本为 = c1+c2+c3*(n+1)+n*(c4+c5)+c6 = n*(c3+c4+c5)+ (c1+c2+c3+c6) = A*n+B（A=常数，B也是）

所以 T(n)=O(n)。

请记住，我们只对恒定因素下的性能感兴趣。这就是我们忽略 A、B 等常量的原因。我们可以将它们与常量因子相乘或除以得到更简单的形式。