用 sympy.diffgeom 求黎曼曲率张量

Question

我正在尝试用度量 g 的符号表达式来确定黎曼曲率张量。我已经预先计算了指标。笛卡尔坐标为

• x = x(eta,theta,psi) = a*sinh(eta)*cos(psi)/(cosh(eta) - cos(theta))
• y = y(eta,theta,psi) = a*sinh(eta)*sin(psi)/(cosh(eta) - cos(theta))
• z = z(eta,theta,psi) = a*sin(theta))/(cosh(eta) - cos(theta))

度量是通过从笛卡尔 (x,y,z) 到环形坐标 (eta,theta,psi) 的变换找到的。使用符号包 SymPy，如下脚本

from sympy.diffgeom import Manifold, Patch, CoordSystem, TensorProduct
from sympy.abc import theta, eta, psi
import sympy as sym

x,y,z,a = sym.symbols("x y z a")
m = Manifold("M",3)
patch = Patch("P",m)

cartesian = CoordSystem("cartesian",patch)
toroidal = CoordSystem("toroidal",patch)

from sympy import sin,cos,sinh,cosh
toroidal.connect_to(cartesian,[eta,theta,psi],
[(a*sinh(eta)*cos(psi))/(cosh(eta) - cos(theta)),
 (a*sinh(eta)*sin(psi))/(cosh(eta) - cos(theta)),
 (a*sin(theta))/(cosh(eta) - cos(theta))],inverse=False)

g = sym.Matrix([[a**2/(cos(theta) - cosh(eta))**2,        0,           0],
                [0,           a**2/(cos(theta) - cosh(eta)),           0],
                [0,   0,   a**2*sinh(eta)**2/(cos(theta) - cosh(eta))**2]])

diff_forms = toroidal.base_oneforms()
metric_diff_form = sum([TensorProduct(di, dj)*g[i, j] for i, di in enumerate(diff_forms) for j, dj in enumerate(diff_forms)])

from sympy.diffgeom import metric_to_Riemann_components
metric_to_Riemann_components(metric_diff_form)

产生结果

((((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
  ((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
  ((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))),
 (((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
  ((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
  ((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))),
 (((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
  ((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)),
  ((0, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0))))

对于给定的度量 g，结果不正确。结果应该是不平凡的。

Answer 1

你应该将eta、theta、phi声明为坐标函数，即：

eta, theta, phi = toroidal.coord_functions()

坐标函数是在diffgeom模块中使用的标量变量。 此外，我建议在声明坐标系时声明坐标函数字符串：

toroidal = CoordSystem("toroidal", patch, ["eta", "theta", "psi"])

黎曼分量的推导是通过对坐标函数的推导获得的，坐标函数是它们自己类型的变量（即它们不是实例符号）。任何 Symbol 实例，即使与 坐标函数 具有相同的名称，在派生时都被认为是不同的和恒定的。因此结果为零。

用这些变量重新声明你的矩阵，它应该可以解决。