我应该如何处理 sympy 以获得积分的“正常”结果？

Question

我的练习是将一些功能与 sympy 集成。第一个积分是（我要在图片上加，因为这里不能用latex，但是代码里也可以看到）：

与

a 是一个实常数。

这是我的代码：

%pylab inline
from sympy import *
init_printing()
v, a = symbols('v, a', real=True, nonzero=True)
f = sqrt(2/pi)*(v**2*exp((-v**2)/(2*a**2)))/(a**3)
print(integrate(v*f, (v, 0, oo)))

（注意：我只使用 print 来获得这个可复制的结果） 但是结果真的很丑：

Piecewise((2*sqrt(2)*a/sqrt(pi), Abs(periodic_argument(polar_lift(a)**(-2), oo)) < pi/2), (Integral(sqrt(2)*v**3*exp(-v**2/(2*a**2))/(sqrt(pi)*a**3), (v, 0, oo)), True))

但随着修改

v, a = symbols('v, a', positive=True)

或

v, a = symbols('v, a', negative=True)

结果是

2*sqrt(2)*a/sqrt(pi)

但据我所知，唯一具有既不是负也不是正的属性的实数是零——应该用“非零=真”部分排除。

问：如何使用我的第一个代码来获得“不错”的结果？

Answer 1

在当前的开发版本中，输出不那么难看：

Piecewise((2*sqrt(2)*a/sqrt(pi), pi/2 > 2*Abs(arg(a))), (Integral(sqrt(2)*v**3*exp(-v**2/(2*a**2))/(sqrt(pi)*a**3), (v, 0, oo)), True))

不过，仍有改进的余地。我建议在issue tracker 提出问题。

解决方法

Piecewise 的原因是如果条件 pi/2 > 2*Abs(arg(a)) 不成立，SymPy 不确定积分是否收敛。既然你知道它确实在你的上下文中收敛，你可以通过设置 conds="none" 来告诉 SymPy 不要打扰收敛条件：

>>> integrate(v*f, (v, 0, oo), conds="none") 
2*sqrt(2)*a/sqrt(pi)

或者，使用假设：在a 上设置“积极”假设就足够了。您可以通过将 a 临时替换为正号来为集成步骤执行此操作。

>>> apos = symbols('apos', positive=True)
>>> integrate(v*f.subs(a, apos), (v, 0, oo)).subs(apos, a)
2*sqrt(2)*a/sqrt(pi)

这允许a 在更大的计算上下文中保持原样。

说明

以下是关于为什么假设集（实数和非零）的影响小于（正）或（负）的非正式解释。

1. 如果知道a 是正数，则可以做某事，并产生良好的输出。
2. 如果知道a 是负数，可以做另一件事，它会产生很好的输出。

鉴于a 是真实且非零的，SymPy 会问：我可以做第一件事吗？不，因为不能保证a 是肯定的。然后它问：我可以做第二件事吗？不，因为不能保证a 是否定的。所以，两者都没有完成。

核心问题是使用 Python 逻辑来做符号逻辑是有局限性的。在 Python 逻辑中，所有内容都必须被评估为一个单一的真值。在符号逻辑中，表达式可能具有未知的真值。另一个例子是排中律。如果没有先评估“stuff”，Python 不知道“stuff or not stuff”总是 True。符号逻辑可以知道这一点，即使“东西”的真值是未知的。 https://github.com/sympy/sympy/wiki/Assumptions-history