这是一个非常快速的解决方案。它仍然无法在 1 秒内处理 18 位数字，但它可以在 2 毫秒内完成@Edakos (6, 12345) 的答案中的示例。
function count_numbers_with_digit_sum( $sum, $max ) {
if($sum < 0 || $max <= 0) {
return 0;
}
$count = 0;
$greatest_piece = (int) str_pad(1, strlen($max.""), "0");
$first_digit = (int) substr($max, 0, 1);
if( $max <= 9 && $sum <= 9 ) {
$count++;
}
else {
$count_to = max(1, ($sum > $first_digit) ? $first_digit : $sum );
for( $i = 0; $i < $count_to; $i++ ) {
$count += count_numbers_with_digit_sum( $sum - $i, $greatest_piece - 1 );
}
$count += count_numbers_with_digit_sum( $sum - $count_to, $max % $greatest_piece );
}
return $count;
}
$start = microtime(true);
echo count_numbers_with_digit_sum( 6, 12345);
echo "<br/>";
echo (int)((microtime(true) - $start)*1000) )." ms";
一些示例运行：
count_numbers_with_digit_sum( 9, 100 ) = 10 0 ms
count_numbers_with_digit_sum( 6, 123 ) = 10 0 ms
count_numbers_with_digit_sum( 6, 12345 ) = 130 2 ms
count_numbers_with_digit_sum( 23, 12345 ) = 530 40 ms
count_numbers_with_digit_sum( 34, 582973 ) = 13923 2287 ms
count_numbers_with_digit_sum( 9, 984930 ) = 2001 39 ms
这是它的工作原理。我们将S(x,y) 称为小于或等于y 且其数字之和等于x 的不同正整数的数量。例如，S(3,25) = 3 (3, 12, 21)。我们可以做以下逻辑。为简单起见，我们只看 x=6 和 y=123，就像在您的原始示例中一样。 S 将是我们不“使用”第一个（数百个）数字的整数数量，加上我们使用的整数数量。在这个场景中，百位的最大值为 1，所以...
S(6,123) = S(6,99) + S(5,23)
看十位数，我们可以使用0到6之间的任何值，所以：
S(6,99) = S(6,9) // single digits
+ S(5,9) // 10-19
+ S(4,9) // 20-29
+ S(3,9) // 30-39
+ S(2,9) // 40-49
+ S(1,9) // 50-59
+ S(0,9) // 60
这非常适合递归。对于给定的y，我们查看所有最左边的数字都是 0（即未使用）的场景，例如 S(x,9)、S(x,99)、S(x,999) 等。 ，然后我们看看“最大化”最左边的数字。例如，
S(34, 12345) = S(34, 9999) + S(34, 999) + S(34, 99) + S(34, 9) + S(33, 2345)
= 10 + 0 + 0 + 0 + S(33, 2345)
= 10 + S(33, 999) + S(33, 99) + S(33, 9) + S(31, 345)
= 10 + 0 + 0 + 0 + S(31, 345)
= 10 + S(31, 99) + S(31, 9) + S(31, 45)
= 10 + 0 + 0 + 0
= 10
上面的函数实现了这个递归。您可以轻松地调整此函数以处理大“数字”作为字符串值：
function count_numbers_with_digit_sum_string( $sum, $max ) {
return count_numbers_with_digit_sum_string_inner( $sum."", $max."" );
}
function count_numbers_with_digit_sum_string_inner( $sum, $max ) {
if($sum < 0 || $max <= 0) {
return 0;
}
$count = 0;
$strlenmax = strlen($max);
$strlensum = strlen($sum);
$nines_less_than_max = (int) str_pad("", $strlenmax-1, "9");
$first_digit = (int) substr($max, 0, 1);
$last_two_digits_sum = (int) substr($sum, -2);
if( $strlenmax <= 1 && $strlensum <= 1 ) {
$count++;
}
else {
$count_to = max( 1, ($strlensum > 1 || $sum > $first_digit) ? $first_digit : ( (int) $sum ) );
for( $i = 0; $i < $count_to; $i++ ) {
$count += count_numbers_with_digit_sum_string_inner( substr($sum, 0, -2) .($last_two_digits_sum - $i), $nines_less_than_max );
}
$count += count_numbers_with_digit_sum_string_inner( substr($sum, 0, -2) .($last_two_digits_sum - $count_to), substr($max, 1));
}
return $count;
}
$start = microtime(true);
echo count_numbers_with_digit_sum_string( 34, 12345);
echo "<br>".( (int)((microtime(true) - $start)*1000) )." ms";
这个版本大约是上面纯数字版本的两倍。
您可以通过预先计算和缓存值来大大加快速度。正如您在上面看到的，有很多术语，如S(x, 999)、S(x,9999) 等。只有 10 个 x (0..9) 值“起作用”，其中 y = 9、19 个值 (0.. 18) 适用于 y = 99, 28 (0..27) 适用于 y = 999 等。如果你想缓存 1,558 个值（9、99 中 y 的 S(x,y) 的所有组合， 999，最多 999,999,999,999,999,999），您可以减少大量的递归并节省大量时间。有了足够大的缓存，我相信您可以将 18 位数字的时间缩短到一秒。这很容易做到，通过建立它（缓存 9 个值，然后是 99，然后是 999，等等）。如果以后有时间，我会发布概念证明。
希望有帮助！
（已编辑以阐明缓存计算，修复 $count_to 中的计算错误）