命题逻辑 - 减少运算次数

Question

简而言之，我想知道，给定两个命题公式，是否有一种标准方法可以找到仍然与两个公式具有相同输出的最短操作序列。例如，如果我们有以下公式：

和

我们可以通过引入一个新命题来减少操作次数：

然后Q 变为：

这将操作数（一元和二元）从 19 减少到 14。 Q的新逻辑电路是：

理想情况下，我希望只有否定和析取。有没有一种算法可以将任何命题转换为我理想的简化命题？有没有一种算法可以引入像上面这样的新命题？

Answer 1

经过大约 50 年的研究，仍然没有多级逻辑综合的标准方法。使用Karnaugh maps 或Quine McCluskey 方法可以很好地解决两级情况。在这里，最小项的数量被最小化。但这并不直接对应确定函数值所需的逻辑运算次数。

加州大学伯克利分校开发了几个tools 来生成启发式解决方案。其中一些工具很好地封装在Logic Friday 1 中。

函数 Q 的输入：

输入： 问：=(A & ((B & C) + (B' & C'))) + (A' & ((B & C) + (B' & C'))');

最小化： 问：= A B C + A' B' C + A' B C' + A B' C';

“映射到门”操作后的输出：

注意：
更新的合成套件是 Clifford Wolf 的 Yosys。

Answer 2

是的，有一种简化逻辑方程的标准方法

• 是Karnaugh Maps的使用
• 这里是Karnaugh Maps for 4 inputs example
• 背后的想法是将逻辑/电路真值表编码为矩形矩阵
• 这是来自answer 的 3 个卡诺图的示例
• 一张图代表单一输出
• 每个都代表自己的逻辑电路/方程式
• 你可以看到 set1 和 set2 是一样的
• X 表示输出 = 1
• 空白表示输出 = 0
• 边是所有输入组合的二进制编码

简化

• 通过从地图中提取方程来完成
• 所以要找到覆盖所有 X 或空格的最小区域数
• 哪一个取决于使用的逻辑，或者哪个更容易选择
• 例如 set1 只有在 a 和 b 都处于活动状态时才处于活动状态
• 所以：set1=a.b
• set3 可以这样提取：
• set3=a+b 通过选择 x
• set3=!((!a).(!b)) 选择空格

[注释]

• . 和
• + 或
• !不是
• 选择可以重叠边界