如何在汇编中将两个十六进制 128 位数字相乘

Question

我在内存中有两个 128 位的十六进制数，例如（小端序）：

x:0x12 0x45 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00
y:0x36 0xa1 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00

我必须在这两个数字之间执行无符号乘法，所以我的新数字将是：

z:0xcc 0xe3 0x7e 0x2b 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00 0x00

现在，我知道我可以将 x 和 y 的一半移动到 rax 和 rbx 寄存器中，例如，执行 mul 操作，并对另一半执行相同的操作。问题是这样做我失去了结转，我不知道如何避免这种情况。我面临这个问题大约有 4 个小时，我能看到的唯一解决方案是二进制转换 (and shl,1)。

你能就这个问题给我一些意见吗？
我认为最好的解决方案是按标准时间计算一个字节。

Answer 1

令μ = 2⁶⁴，那么我们可以将你的128位数字a和b分解成a = a₁μ + a₂ 和 b = b₁μ + b₂。然后我们可以通过首先计算部分积来计算 c = ab 与 64 · 64 → 128 位乘法：

q₁μ + q₂ = a₂ b₂
r₁μ + r2 = a₁b₂
s₁μ + s₂ = a₂b em>₁
t₁μ + t₂ = a₁b₁

然后将它们累积成 256 位结果（在进行加法时注意溢出！）：

c = t₁μ³ + (t ₂ + s₁ + r₁) μ² + (s₂ + r₂ + q₁) μ + q₂

Answer 2

像往常一样，询问编译器如何高效地做某事：64 位平台上的 GNU C 支持 __int128_t 和 __uint128_t。

__uint128_t mul128(__uint128_t a, __uint128_t b) { return a*b; }

编译为 (gcc6.2 -O3 on Godbolt)

    imul    rsi, rdx        # tmp94, b
    mov     rax, rdi  # tmp93, a
    imul    rcx, rdi        # tmp95, a
    mul     rdx       # b
    add     rcx, rsi  # tmp96, tmp94
    add     rdx, rcx  #, tmp96
    ret

由于这是针对 x86-64 System V 调用约定，a 在 RSI:RDI 中，而 b 在 RCX:RDX 中。 结果在 RDX:RAX 中返回。

非常漂亮，它只需要一条 MOV 指令，因为 gcc 不需要 a_upper * b_lower 的高半结果，反之亦然。它可以使用更快的 2 操作数形式的 IMUL 破坏输入的高半部分，因为它们只使用一次。

使用-march=haswell 启用BMI2，gcc 使用MULX 来避免甚至是一个MOV。

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有时编译器输出并不完美，但通常通用策略是手动优化的良好起点。

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当然，如果您真正首先想要的是 C 语言中的 128 位乘法，只需使用编译器的内置支持即可。这让优化器完成了它的工作，通常比在 inline-asm 中编写几个部分时提供更好的结果。 (https://gcc.gnu.org/wiki/DontUseInlineAsm)。