朴素的字符串搜索算法 - 平均时间答案

【问题标题】：Naive string search algorithm - average time朴素的字符串搜索算法 - 平均时间
【发布时间】：2016-09-10 09:40:41
【问题描述】：

我正在研究 Naive 字符串搜索算法（又名蛮力算法）。我知道，还有其他更有效的算法，但由于我是从基础开始的，目前我只对这个算法感兴趣。我有一个问题，如下： 此算法的平均时间复杂度 (ϴ) 是多少？ 我发现最好和最坏的情况分别有 ϴ = N, ϴ = M*N

【问题讨论】：

你的字符串中的所有字母都是以均匀随机的方式生成的吗？另外，它们的长度是否总是相同的？或者，如果字符串是自然语言的单词，或者由某个过程生成的数据，则 ϴ 估计可能不同。
你也看过Wikipedia的解释吗？如果没有，就使用它。如果是，请说明那里不清楚的地方。
要搜索的文本 (N) 是随机生成的。它有一个 256 个字符的字母表（字节缓冲区），
要搜索的文本呢？也是随机生成的吗？

标签： algorithm search

【解决方案1】：

从您对问题的评论来看，似乎 N 个文本字符是均匀随机生成的。对于此设置，蛮力的平均时间为 O(N - M)，与生成搜索字符串的方式无关。（注意Wikipedia states O(N + M)，但我们实际上可以使用以下分析推断出O(N - M)。另见these lecture notes）。

考虑搜索字符串与文本位置 i 处的文本匹配的迭代。对于任何搜索字符串，搜索字符串的每个字符都有p = 255/256的概率不匹配搜索字符串的字符。假设我们定义一个“成功”是不匹配的。那么直到成功的尝试次数是Geometric Distribution 和expected (1 - p) / p = O(1) failures until success。

因此，对于位置 i，预期成本为 O(1)。通过linearity of expectation，我们现在需要总结所有相关的i。有Θ(N - M)这样的i。

【讨论】：