轻松找到最小值组合的算法/数据结构

Question

我有一个对称矩阵，如下图所示。

我已经编写了符号 A.B 表示网格点 (A, B) 处的值。 此外，编写 A.B.C 给出我是这样的最小网格点值：MIN((A,B), (A,C), (B,C))。

作为另一个例子 A.B.D 给了我 MIN((A,B), (A,D), (B,D))。

我的目标是一次找到一行的所有字母组合（不重复）的最小值，例如对于这个例子，我需要找到计算给出的关于 A 行的最小值：

A.B = 6
交流 = 8
公元 = 4
A.B.C = MIN(6,8,6) = 6
A.B.D = MIN(6, 4, 4) = 4
A.C.D = MIN(8, 4, 2) = 2
A.B.C.D = MIN(6, 8, 4, 6, 4, 2) = 2

我意识到某些计算可以重用，随着矩阵大小的增加，这变得越来越重要，但问题是找到实现这种重用的最有效方法。

能否指出正确的方向来找到可用于解决此问题的有效算法/数据结构？

Answer 1

您需要考虑lattice of subsets of the letters, ordered by inclusion。本质上，您为每个大小为 2 的子集 S （即矩阵的每个非对角线元素 - 对角线元素似乎不会出现在您的问题中）给出了一个值 f(S)，问题是对于大小大于 2 的每个子集 T，找到 T 中包含的所有大小为 2 的 S 的最小值 f(S)。（然后您只对包含某个元素“A”的集合 T 感兴趣——但我们暂时不考虑。）

首先，请注意，如果您有 n 个字母，这相当于问Omega(2^n) 个问题，每个子集大约一个。 （排除零元素和一元素子集以及不包含“A”的子集可以分别为您节省 n + 1 个集合和两倍的因子，这对于 big Omega 是允许的。）因此，如果您想存储所有即使是中等大小的 n，这些答案也需要大量内存。如果 n 在您的应用程序中很大，最好存储一些预先计算的数据集合，并在您需要特定数据点时进行一些计算；我还没有考虑过什么会最有效，但是例如，只为晶格中包含的二叉树计算数据并不一定能帮助你，除了什么都不预计算。

解决了这些问题，让我们假设您实际上想要计算所有答案并将其存储在内存中。您需要“逐层”计算这些，即从三元素子集开始（因为矩阵已经给出了二元素子集），然后是四元素，然后是五元素等。这样，对于给定的子集 S，当我们计算 f(S) 时，我们已经计算了严格包含在 S 中的 T 的所有 f(T)。有几种方法可以利用它，但我认为最简单的可能是使用两个这样的子集 S：让 t1 和 t2 成为 T 的两个不同元素，您可以随意选择它们；令 S 为移除 t1 和 t2 时得到的 T 的子集。为 S 加 t1 写 S1，为 S 加 t2 写 S2。现在 T 中包含的每一对字母要么完全包含在 S1 中，要么完全包含在 S2 中，要么就是 {t1, t2}。在之前计算的值中查找 f(S1) 和 f(S2)，然后直接在矩阵中查找 f({t1, t2})，并存储 f(T) = 这三个数字中的最小值。

如果您从不为 t1 或 t2 选择“A”，那么实际上您可以计算您感兴趣的所有内容，而无需为任何不包含“A”的集合 T 计算 f。 （这是可能的，因为上述步骤仅在 T 包含至少三个元素时才有意义。）好！这只剩下一个问题——如何存储计算值 f(T)。我要做的是使用 2^(n-1) 大小的数组；用 (n-1) 位数表示每个包含“A”的字母子集，其中只要第 (i+1) 个字母在该集合中，第 i 位就为 1（所以 0010110，其中设置了第 2、4 和 5 位，表示字母表“A”..“H”中的子集 {“A”、“C”、“D”、“F”} - 注意我从开始计算位从右边 0 开始，从“A”开始的字母 = 0)。这样，您实际上可以按数字顺序遍历集合，而无需考虑如何遍历 n 元素集合的所有 k 元素子集。 （当考虑的集合有 0 或 1 个元素时，您确实需要包含一个特殊情况，在这种情况下您什么都不想做，或者 2 个元素，在这种情况下您只需从矩阵中复制值。）

Answer 2

嗯，这对我来说看起来很简单，但也许我误解了这个问题。我会这样做：

• 让P 成为符号X1.X2. ... .Xn 中的模式字符串，其中Xi 是矩阵中的一列

• 首先计算数组CS = [ (X1, X2), (X1, X3), ... (X1, Xn) ]，其中包含X1 与模式中所有其他元素的所有组合； CS 有 n-1 元素，你可以在 O(n) 中轻松构建它

• 现在你必须计算min (CS)，即找到与CS中的组合对应的矩阵元素的最小值；再次，您可以轻松找到 O(n) 中的最小值

• 完成。

注意：由于您的矩阵是对称的，给定P，您只需通过将P 的第一个元素与所有其他元素组合来计算CS：(X1, Xi) 等于(Xi, X1)

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如果你的矩阵很大，想要做一些优化，可以考虑P的前缀：让我举例说明

• 当您解决了P = X1.X2.X3 的问题后，将结果存储在关联映射中，其中X1.X2.X3 是键

• 稍后，当您解决问题 P' = X1.X2.X3.X7.X9.X10.X11 时，您会在地图中搜索最长的前缀 P'：您可以从 P' 开始并删除一个组件 (Xi)从最后一次直到您在地图中找到匹配项或您最终得到一个空字符串

• 如果您在映射中找到前缀 P'，那么您已经知道该问题的解决方案，因此您只需找到将前缀的第一个元素与后缀，然后比较两个结果：在我们的示例中，前缀是X1.X2.X3，因此您只需解决问题 X1.X7.X9.X10.X11，然后比较两个值并选择最小值（别忘了用新模式更新你的地图P'）

• 如果你没有找到任何前缀，那么你必须为P'解决整个问题（同样不要忘记用结果更新地图，这样你以后可以重复使用它)

这种技术本质上是memoization的一种形式。