如何在 Mathematica 中获取列表的所有分区？答案

【问题标题】：How can I obtain all partitions of a list in Mathematica?如何在 Mathematica 中获取列表的所有分区？
【发布时间】：2011-11-29 01:53:43
【问题描述】：

列表的划分是指列表元素的一组子集，使得任何不同的子集对的交集为空，并且所有子集的并集等于原始列表。

例如，如果我的输入列表是{1,π,x}，那么我想要一个返回的函数

{ {{1},{π},{x}}, {{1,π},{x}}, {{1,x},{π}}, {{1},{x,π}}, {{1,π,x}} }

【问题讨论】：

@yoda：OP 可能与术语混淆。这些不是分区，我同意。
@Blender 是的，我刚刚意识到他可能在做别的事情。
@Blender, yoda：这些是partitions in the sense of sets，只不过不是 Mathematica 命令Partition 的意义。
@Simon 我知道，我没有混淆。这个问题起初对我来说并不清楚，我认为他的意思是{{1},{π},{x}}, {{1,π},{x}} 等中的每一个都是他感兴趣的子集，我的评论是这两者的交集不是空的。二读后，我明白了他的意思，并撤回了我的评论。
@yoda：好的。有时可删除的 cmets 可能会令人困惑！

标签： wolfram-mathematica

【解决方案1】：

使用来自http://mathforum.org/advanced/robertd/bell.html的改编代码

BellList[1] = {{{1}}};
BellList[n_Integer?Positive] := Join @@
  (ReplaceList[#,
    {{b___, {S__}, a___} :> {b, {S, n}, a},
     {S__} :> {S, {n}}}
   ] & /@ BellList[n - 1])

s = {a, b, c, d, e};

bell = BellList@Length@s /. n_Integer :> s[[n]]

或者，不出所料，Combinatorica 包已经有这个功能 (SetPartitions)！

Needs["Combinatorica`"]

comb = SetPartitions[{a, b, c, d, e}]

检查它们是否都返回相同的结果（但顺序不同）

Complement[bell, comb] == {}
Sort@bell == Sort@comb
(* Both of the above return True *)

【讨论】：

@Mr.Wizard，我需要花一点时间来进行心理分析，但据我所知，它可以完成这项工作，谢谢！
@Michael，我忘了在标准库中检查这个函数。查看我刚刚进行的更新。
刚刚点赞了 3 个帖子。您现在的标签价为 1000！当一天结束时享受你的金徽章:)
@yoda 非常感谢！ :-D

【解决方案2】：

我将从集合的Powerset 开始（使用Subsets[x]），然后过滤掉集合的Union[x] 不是原始集合的那些。

有点慢，但我觉得它很直观。

【讨论】：

{{1,x},{π}} 的并集不是原始集合；虽然 OP 要求它。
@BillyONeal 为什么说并集 {1,x} 和 {π} 不等于 {1,π,x}？集合元素的顺序与集合的定义无关...