用函数转换集合的高效算法

Question

我正在编写一个代码，它将计算下面函数g(x) 中关于自然数的间隙，然后对它们求和。

from math import *

a = set()
n = eval(input("n = "))

def g(x):
    return floor(x*log10(x))   # thanks to tzaman

b = 1
while g(b) < n:
    a.add(g(b))
    b+=1

aprime = set(range(max(a)))

z = max(a)

print(z*(z+1)/2-sum(a))        # thanks to tzaman

input("Done!")

我试图拥有n = 10 ** 10，即10000000000，并在合理的时间内（例如，

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示例 I/O

n = 12, output = 15

其他信息

下图比较了x 和g(x)：

 x   | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
g(x) | 0 0 1 2 3 4 5 7 8 10 11 12

集合x \ g(x)代表x中的成员而不是g(x)中的成员，对于12以下的数字，{0,6,9}；这些总和是 15。所以，当n = 12，output = 15。

Answer 1

您的麻烦可能来自sum(aprime-a) 这一行。这迫使 python 计算你的两组的集合差异。考虑到你的集合有多大，这是一个巨大的时间浪费。

当b 是a 的子集时，请注意sum(a-b) = sum(a)-sum(b)（就像您的情况一样）。所以我们现在有了sum(aprime)-sum(a)。

接下来利用aprime 只是一个等差数列这一事实！你有一个公式来计算这些东西的总和！你可以代替sum(aprime)

maxVal = max(a)
sumAPrime = ((maxVal +1)*maxVal)/2

所以你现在有sumAPrime - sum(a) 作为你的解决方案！

我将假设您需要优化以适用于任意函数 g，因此您不能对代码中的函数做出假设。

希望这会有所帮助！ :)

Answer 2

我不确定这会产生多大的不同，但您可以阻止使用 set() 和 eval()。 eval() 可以更改为 int()，因为您已经将 n = 设置为输入结果。接下来，您可以在 a 迭代时检查 g(b) 的值。删除 aprime 并将 a 更改为列表将得到以下结果。

from math import *

a = []
n = int(input("n = "))

def g(x):
    return floor(x*log10(x))

b = 1
while g(b) < n:
    if g(b) in a:
        b+=1
    else:
        a.append(g(b))
        b+=1

z = max(a)

print(z*(z+1)/2-sum(a))

input("Done!")