数学中的求和问题答案

【问题标题】：summation issue in mathematica数学中的求和问题
【发布时间】：2013-04-24 15:03:48
【问题描述】：

我对mathematica 的这种行为感到困惑。以下两个表达式应该返回相同的结果：

Simplify[(1 - w)^2 Sum[w^(k+kp) Sum[If[l == lp, 1, 0], {l, 0, k}, {lp, 0, kp}],
{k,0, \[Infinity]}, {kp, 0, \[Infinity]}]]

(-1 - w + w^3)/(-1 + w^2)

而严格等价的：

Simplify[(1 - w)^2 Sum[w^(k+kp) Min[k, kp],{k,0,\[Infinity]},{kp,0,\[Infinity]}]
       + (1 - w)^2 Sum[w^(k+kp)           ,{k,0,\[Infinity]},{kp,0,\[Infinity]}]]

1/(1 - w^2)

【问题讨论】：

请解释为什么这些表达式是“严格等价的”
这只是一个数学陈述：对于 k>=0 和 kp>=0：Sum[If[l == lp, 1, 0], {l, 0, k}, {lp, 0, kp}] = Min[k,kp]+1

标签： math wolfram-mathematica series

【解决方案1】：

不是答案，但如果你使用

$$\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{l=0}^{k} = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{k=l}^{ \infty}$$

然后：

sum1 = Simplify[(1 - w)^2 
         Sum[w^(k + kp) Sum[KroneckerDelta[l, lp] , {l, 0, k}, {lp, 0, kp}], 
             {k, 0, Infinity}, {kp, 0, Infinity}]]
(* (-2 + w + w^2 - w^3)/(-1 + w^2) *)

但是

sum2 = Simplify[(1 - w)^2 
         Sum[KroneckerDelta[l, lp] 
             Sum[w^(k + kp), {k, l, Infinity}, {kp, lp, Infinity}] , 
         {l, 0, Infinity}, {lp, 0, Infinity}]]
(* 1/(1 - w^2) *)

【讨论】：