python中的无限和答案

【问题标题】：Infinite sums in pythonpython中的无限和
【发布时间】：2011-09-12 14:00:39
【问题描述】：

我听说 python 可以做无限和。例如，如果我想评估无限和：

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...

我该怎么办？我是python的新手。因此，如果有人可以写出整个代码以及我是否需要包含/导入某些内容，我将不胜感激。

例如，在 wolfram alpha 中，如果我输入Summation (-1)^(n-1)/(2*n-1) from n=1 to infinity，它会给出0.785395 的答案。我希望将答案计算到所需的准确度，例如 wolfram alpha 最多 6 位的情况。

此外，我正在查看此帖子 here 并试图模仿它，但它给了我以下错误：

`NameError: name 'Infinity' is not defined`
`NameError: name 'Inf' is not defined`

谢谢，阿德瓦伊塔

【问题讨论】：

您是否希望能够计算无限级数的极限？哪个通常是无理数？或者你想要一个具有一定精度的近似值？
这是数学家或科学软件的工作，而不是通用编程语言。
@Adhvaitha 这仅适用于 Cray 超级计算机，但这只野兽可以在 7-8 秒内执行任何无限循环！
例如，在 wolfram alpha 中，如果我输入“Summation (-1)^(n-1)/(2*n-1) from n=1 to infinity”，则答案为 0.785395 .我希望将答案计算到所需的准确度，例如 wolfram alpha 最多 6 位的情况。投反对票的人，您能否提供投反对票的原因。
@Adhvaitha 我不是投反对票的人，但我会冒险猜测原因：乍一看，您的问题似乎是show me the codes 类型的问题，有些人会自动投反对票。

标签： python

【解决方案1】：

#It may be late answer but the following works well.

repetitions = 50

r = 0.0

for i in range(repetitions):
   ii=i+1 # because in python index start from 0
   r+=((-1)**(ii-1))/(2*ii-1.0)

print r

#the output is r=0.780398663148, you can increase the repetitions for more accuracy

【讨论】：

【解决方案2】：

对于某些系列，例如所示系列，您可以使用alternating series test 将总和计算到所需的误差范围内。 Decimal、GyPy、mpmath或bigfloat等库，如果你的计算会碰到内置浮点数的精度，可以使用。

整数方法注意事项：
虽然整数比方法看起来更准确，但它们对于实际计算完全不切实际。这样做的原因是：1）分数相加需要创建相等的分母，这基本上需要分母相乘，所以到最后，数字的大小类似于n!（即factorial）；并且，2) 对于示例系列，m 数字的精度需要 m 术语。因此，即使只有六位数的精度，也需要大约等于 1000000 的数字！ = 8×10^5,565,708。对于更大的数字，它大约是 10^10ⁿ，这很快就变得完全不切实际了。同时，计算到 6 位或 7 位甚至 40 位的十进制解决方案是微不足道的。

例如，运行 nightcrackers 解决方案，我得到的分母或分子中位数的次数和个数是：

    n      t       n_digits_in_denominator
   10      0.0003  14
  100      0.0167  170
 1000      5.5027  1727
10000      ????    ????   (gave up after waiting one hour)

而这对于仅约 4 位数的准确度来说变得不切实际。

因此，如果您想精确计算有限且少量的项并将最终结果表示为比率，那么整数解决方案将是一个不错的选择，但如果您想将最终结果表示为小数，您最好还是坚持小数。

【讨论】：

【解决方案3】：

虽然它仍然是有限的，但您可以使用 fractions 和 decimal 模块来近似该系列：

from fractions import Fraction
from decimal import Decimal

repetitions = 100

d = 1
r = Fraction(1, d)

for n in range(repetitions):
    r += Fraction(1, d) - Fraction(1, d + 2)
    d += 4

print(Decimal(r.numerator)/Decimal(r.denominator))

我认为这最接近你想要做的。

【讨论】：

感谢您对fractions 的提醒，以及从我的回答中删除评论.. :-)
@Ned Batchelder：是的，它过于激进并且没有经过深思熟虑 - 我什至没有阅读您答案的第二部分。

【解决方案4】：

Python 有无限精度整数，但没有无限精度浮点数。不过，您可以使用一些包来提供此功能。

没有什么可以“完成”一个无限的总和，因为它涉及无限多的步骤。您需要找到总和的封闭形式，然后对其进行评估，或者接受通过在满足精度标准时终止无限总和而获得的近似值。

【讨论】：

对于“无限”精度浮点数，使用Decimal python 模块。包括电池！ :)

【解决方案5】：

在这里有点摸不着头脑...我敢打赌，当您听说 Python 能够进行无限求和时，他们的意思是 Python long integers have unlimited precision。

显然，这与对无穷级数求和无关。

我不知道 Python 的任何方面使它特别适合计算这种和（或确实确定和是否收敛）。

您可以尝试使用一些合理的停止标准对项进行直接求和。但是，这仅适用于表现良好的系列。

最后，只是为了让您了解您所要求的复杂性，academic papers get published 其唯一目的是处理某些小类系列的总和。您提出的一般问题并不像看起来那么简单。

【讨论】：

【解决方案6】：

你可以像这样使用 sympy 来做到这一点：

from sympy import oo, Sum
from sympy.abc import n
inf_sum = Sum((-1)**n/(2*n + 1), (n, 0, oo))    # n goes from 0 to infinity
print(inf_sum.doit())

这将为您提供pi/4，这与您从 Wolfram Alpha 获得的相同。

【讨论】：