Wadler，“函数式编程的 Monad”，第 2.8 节

Question

编辑 II： 啊，好吧：我不明白 a 和 b 是如何绑定在 的定义中的评估！现在我愿意。如果有人感兴趣，这是一个跟踪 a 和 b 的图表。我是图表的忠实粉丝。我发誓，绘制箭头确实改进了我的 Haskell。

A Diagram of an eval call (PDF)

有时我感觉很浓。

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在 Wadler 的“Monads for Functional Programming”的第 2.8 节中，他将状态引入了一个简单的评估函数。原始（非单子）函数使用一系列 let 表达式跟踪状态，并且易于理解：

data Term = Con Int | Div Term Term
 deriving (Eq, Show)

type M a = State -> (a, State)
type State = Int

eval' :: Term -> M Int
eval' (Con a) x   = (a, x)
eval' (Div t u) x = let (a, y) = eval' t x in
                    let (b, z) = eval' u y in
                    (a `div` b, z + 1)

unit 和 bind 的定义同样简单明了：

unit :: a -> M a
unit a = \x -> (a, x)

(>>=) :: M a -> (a -> M b) -> M b
m >>= k = \x -> let (a, y) = m x in
                let (b, z) = k a y in
                 (b, z)

这里，(>>=) 接受一个单子值 m :: M a，一个函数 k :: a -> M b，并输出一元值M b。 m 的值取决于 lambda 表达式中替换 x 的值。

Wadler 接着引入了函数tick：

tick :: M ()
tick = \x -> ((), x + 1)

再次，直截了当。然而，不是简单的是如何将这些函数链接在一起以生成一个评估函数，该函数返回执行的除法运算符的数量。具体来说，我不明白：

(1) tick 是如何实现的。例如，以下是一个有效的函数调用：

(tick >>= \() -> unit (div 4 2)) 0
 ~> (2, 1)

但是，我无法手动正确评估它（表明我误解了某些内容）。特别是： (a) tick 在 0 处求值的结果是 ((), 0)，那么 lambda 表达式是如何接受 () 的呢？ (b) 如果 a 是在 0 处调用 tick 返回的对的第一个元素，如何评估 unit？

(2) 如何结合 tick 和 unit 来跟踪执行的除法运算符的数量。虽然非单子评估器没有问题，但 bind 的使用在这里让我感到困惑。

编辑：谢谢大家。我认为我的误解是 lambda 表达式的作用，'() -> unit (div 4 2)'。如果我理解正确的话，

(tick >>= (\() -> unit (div m n)) x

扩展到

(\x -> let (a, y) = tick x in
       let (b, z) = (\() -> unit (div m n) a y) in
       (b, z)) x

当 'a' 应用于 '() -> unit (div m n) a y' 时，不会产生“实际结果”。可以通过将 any 变量与 lambda 运算符绑定并用一个值代替它来实现相同的效果。 bind 的多功能性，在这种情况下，是 any 值 M a 可以传递给它。如前所述，值 M a 表示计算，例如“eval”。因此：

eval (Con a) = unit a

eval (Div t u) = eval t >>= (\a ->
                  eval u >>= (\b ->
                   tick >>= (\c -> unit (a `div` b))))

如果我理解正确的话，'eval t' 被替换为 m 和表达式的其余部分，函数

'(\a -> eval u >>= (\b -> tick >>= (\c -> unit (a `div` b))))'

替换为 k。评估 'eval t' 的结果绑定到 (a, y)，评估 k 的结果绑定到 (b, z)。我有一段路要走，但这在一定程度上清除了它。谢谢。

Answer 1

您可以像这样手动计算表达式：

(tick >>= \() -> unit (div 4 2)) 0

如果将tick 和\() -> unit (div 4 2) 插入到>>= 的定义中，则变为：

(\x -> let (a, y) = tick x in
       let (b, z) = (\() -> unit (div 4 2)) a y in
       (b, z)) 0

如果您现在通过将 0 替换为 x 来应用该函数，您会得到：

let (a, y) = tick 0 in
let (b, z) = (\() -> unit (div 4 2)) a y in
(b, z)

现在让我们将刻度应用于 0：

let (a, y) = ((), 0 + 1) in
let (b, z) = (\() -> unit (div 4 2)) a y in
(b, z)

所以a 变为() 和y 变为0+1 即1。所以我们有

let (b, z) = (\() -> unit (div 4 2)) () 1 in
(b, z)

如果我们将函数应用于()，我们得到

let (b,z) = unit (div 4 2) 1 in
(b,z)

如果我们应用单位，我们得到

 let (b,z) = (div 4 2, 1) in
 (b,z)

div 4 2 是 2，所以结果是 (2,1)。

Answer 2

1a)

tick 在 0 处求值的结果是 ((), 1) -- 再看一下代码，它将输入值加一。

lambda 表达式接受 ()，因为它是绑定操作的右侧，这意味着它的类型应该是 (() -> M b)。所以它把()作为它的第一个参数，然后用“unit”作为M b项。

1b)

我不太确定你在这里问什么。绑定运算符被定义为将第一个操作的结果和状态（分别为 () 和 1）传递给第二个操作，因此单元最终被传递为 1 作为当前状态（结果 ()，被lambda 表达式）。当前状态由单位函数保持原样，结果是4div2的结果，即2。

2)

大概你会想要某种类型的函数：

divCounted :: Int -> Int -> M Int

其中结合了刻度和单位（类似于您的方式），确保打勾一次以增加计数，并使用单位返回结果。

Answer 3

1a)tick在0处求值的结果是((), 1)，那么lambda表达式如何接受()呢？

关于 state monad 的关键是 bind 负责处理该对的第二个组件，即状态。 lambda 表达式只需要处理 ()，即该对的第一个组件，即返回值。

一般来说，monad M 的关键在于它抽象了线程化状态的整个业务。您应该将M a 类型的值视为一个计算机程序，它返回a 类型的值，同时也会弄乱状态。洞察力是两个操作，unit 和 >>=，足以编写任何这样的程序；构建和解构pair (a,s) 的整个业务都可以在这两个函数中捕获。