是唯一的`FlippyFloppyMorphism``const mempty`吗？

Question

在 Haskell 中，我们有一个有趣的事实，即任何类型构造函数 f :: * -> * 同时是 Functor 和 Contravariant 在其类型参数中都是幻像：

phantom :: (Functor f, Contravariant f) => f x -> f y

另一种说法是，同时为Functors 和Contravariant 的每个类型构造函数自然同构于Const x，对于某些x。

这意味着实例化类的“唯一”方式（直到同构）：

class FlippyFloppyFunctor f
  where
  ffmap :: Either (y -> x) (x -> y) -> f x -> f y

使其遵守函子定律：

ffmap (Left id)       = id
ffmap (Right id)      = id
ffmap (Left  (g . f)) = ffmap (Left f)  . ffmap (Left g)
ffmap (Right (f . g)) = ffmap (Right f) . ffmap (Right g)

是：

weirdmap :: Either (y -> x) (x -> y) -> Const r x -> Const r y
weirdmap = const $ \(Const x) -> Const x

即模新类型，const id.

我发现很难理解为什么这是其类型中唯一满足约束的函数，尽管我可以理解涉及absurd :: Void -> a/discard :: a -> () 的各种非正式论点，为什么存在这样的映射意味着仿函数在其类型参数中“是幻像”。

为了更好地理解它，我试图简化问题。与其考虑FlippyFloppyFunctor，不如想想：

class (Monoid a, Monoid b) => FlippyFloppyMorphism a b
  where
  ffmorph :: Either a a -> b

有类似的规律：

ffmorph (Left mempty)    = mempty
ffmorph (Right mempty)   = mempty
ffmorph (Left  (y <> x)) = ffmorph (Left x)  <> ffmorph (Left y)
ffmorph (Right (x <> y)) = ffmorph (Right x) <> ffmorph (Right y)

假设a 和b are non-commutative monoids，那么FlippyFloppyMorphism 的唯一合法实现仍然是const mempty？是否仍然可以解释为什么态射在输入幺半群中必须是“幻象”，而没有 Void 或 () 可供参考？

Answer 1

在我看来，一般情况下的答案是“否”，因为幺半群可以是可交换的。

如果幺半群是可交换的，那么Dual a 和a 是同一个幺半群，而Either a a 和a 是同一个幺半群，因此我们只是退化为问ffmorph 是否是唯一的幺半群同态a -> b。答案是“不”。

例如，对于加法的可交换幺半群，我们有replicate 'a' :: Either (Sum Int) (Sum Int) -> String，其中：

replicateA (Left  0) = ""
replicateA (Right 0) = ""
replicateA (Left  (y + x)) = replicateA (Left x) ++ replicateA (Left y)
replicateA (Right (x + y)) = replicateA (Left x) ++ replicateA (Left y)

但是，我认为对于 _non_commutative monoids，唯一可能的实现可能是 const mempty（我仍然没有证据）。