将一个正定方阵划分为两个相同的矩阵

Question

我只想将n*n 正定矩阵划分为相同的n*r 矩阵B，其中r 是任意的，换句话说：

B*B^T=A
(n*r)*(n*r)^T=(n*n)

编辑： 我认为这是我的错，无法描述我的问题。 让B 是一个维度为(n*r) 的矩阵。 给它一个函数A=f(B^T*B)，其中A是(n*n)。 我知道这个函数会保持矩阵的秩，换句话说rank(A)=rank(B'*B)。 现在我想提取新的B。所以新的B 又是(n*r)。

Answer 1

假设您有以下示例：

n = 4;
rng(0)
A = rand(n,n);
B = A * A';

如果矩阵B 是满秩的，你不能用更少的维度完全覆盖原始矩阵。所以，你只能近似。这里的关键思想是最小化重建误差。

您可以使用eigenvalue decomposition 将B 分解为其特征向量。您可以在 MATLAB 中使用eig，但之后需要对特征值和对应的特征向量进行排序。相反，我更喜欢 Singular Value Decomposition 并在 MATLAB 中使用 svd。请注意，SVD 给出了低秩矩阵逼近中重构误差的最优解。

[U,S,~] = svd(B);
U = U * sqrt(S);

我们现在知道B = U * U'。见 SVD 与特征值分解的关系here。

正如我所说，我们需要对其进行近似。我选择覆盖总方差 99% 的维度如下：

coverage =  cumsum(diag(S.^2));
coverage = coverage ./ norm(S,'fro')^2;
[~, nEig] = max(coverage > 0.99);
U2 = U(:,1:nEig);

在这种情况下，U2 有 2 列而不是 4 列。如果数据是相关的，那么收益会更少。结果如下：

B
B1 = U*U'
B2 = U2*U2'

B =

    2.8966    2.1881    1.1965    2.1551
    2.1881    1.9966    0.6827    1.8861
    1.1965    0.6827    0.7590    0.5348
    2.1551    1.8861    0.5348    2.0955


B1 =

    2.8966    2.1881    1.1965    2.1551
    2.1881    1.9966    0.6827    1.8861
    1.1965    0.6827    0.7590    0.5348
    2.1551    1.8861    0.5348    2.0955


B2 =

    2.8896    2.2134    1.1966    2.1385
    2.2134    1.9018    0.6836    1.9495
    1.1966    0.6836    0.7586    0.5339
    2.1385    1.9495    0.5339    2.0528

这似乎是一个很好的近似值。