自上而下合并排序的时间复杂度？

Question

我知道归并排序的时间复杂度是 O(nLogn)，但是对于它的 Top Down 变体，我无法得出这个结论。

TopDownMerge(A[], iBegin, iMiddle, iEnd, B[])
{
i0 = iBegin, i1 = iMiddle;

// While there are elements in the left or right runs
for (j = iBegin; j < iEnd; j++) {
    // If left run head exists and is <= existing right run head.
    if (i0 < iMiddle && (i1 >= iEnd || A[i0] <= A[i1]))
        B[j] = A[i0];
        i0 = i0 + 1;
    else
        B[j] = A[i1];
        i1 = i1 + 1;    
    } 
}

我从 Wikipedia 页面得到了这个，“if”语句让我感到厌烦，而是它的条件让我发疯。任何帮助表示赞赏。

Answer 1

您屏蔽的代码只是算法的部分：执行合并的部分。这部分的复杂度是 O(n)。 （logn 来自算法的另一半，数组被反复切分成段。）

首先，让我们定义一下（有点神秘的）变量的含义：

• iBegin、iMiddle、iEnd表示A的工作段。左半部分（从iBegin 到iMiddle）和右半部分（从iMiddle 到iEnd）都已排序并准备好合并在一起。
• i0 是A 工作段左 半部分中“下一个”变量的索引。
• i1 是A 工作段右半部分中“下一个”变量的索引。
• j 是工作数组 B 中下一个空点的索引。

每次循环时，都会从A 中复制一个元素，并将其放入数组B 的位置j。 if 语句负责确定该元素应该取自数组的左半边还是右半边。

if 语句执行（最多）三个检查：

• 如果i0 < iMiddle，则数组左半部分仍有要处理的元素。如果这是错误的，请转到 else 块并从数组的右半部分获取元素。
• 如果是i1 >= iEnd，则在数组的右半部分没有要处理的元素。如果是这样，请输入 if 块并从数组的左半部分获取元素。
• 此时，数组的左右两半都必须有一些元素。比较两个元素：如果A[i0] <= A[i1]，则从左半边取下一个元素；否则，从右边拿走。

循环结束后，if 语句将始终执行j 次 - 对于我们从原始数组段复制到工作数组的每个元素执行一次。因此，将两个数组段合并在一起的工作量与数组的大小成正比，即 O(n)。