包含函数的数据类型的函子实例

Question

我有一个数据类型定义为

data Foo a = Foo a (a -> a)

Foo 数据构造函数有两个参数值和函数。我需要为此编写 Monad 和 Monad 转换实例。

我正在尝试实现仿函数实例，

instance Functor Foo where 
  fmap f (Foo x g) = Foo (f x) (g .(f x))

但我收到一个错误Couldn't match type ‘a’ with ‘b’。

这是正确的，因为g 只接受a 类型，而f x 将转换a->b。所以接下来我重写为

instance Functor Foo where 
  fmap f (Foo x g) = Foo (f x) g

我遇到了同样的错误“无法将类型‘a’与‘b’匹配”。

我也试过了

instance Functor Foo where 
  fmap f (Foo x g) = Foo (f x) (f. g x)

我得到了Occurs check: cannot construct the infinite type: a ~ b -> a (g.x)

我卡住了，我知道函数g 只接受a 类型并返回a 类型。但fmap 会将a 类型转换为b 类型。我想我也必须在g 上申请fmap，这是我做不到的。

如何编写上述数据类型的实例？

Answer 1

让我们考虑类型，我们基本上需要将Foo a转换为Foo b，这意味着我们需要找到，给定一个函数a -> b，一个a类型的元素和一个函数类型为a -> a，一个元素类型为b，一个函数类型为b -> b。

尤其是最后一个比较困难，因为我们只给了一个a -> b类型的函数，而不是一个b -> a类型的函数，我们不能先将输入转换为a，然后通过原始函数，然后将其映射回b。

制作满足类型的映射并非完全不可能，例如：

fmap<sub>1</sub> f (Foo x g) = Foo (f x) (<b>const (f x)</b>)

或：

fmap<sub>2</sub> f (Foo x g) = Foo (f x) <b>id</b>

但是fmap<sub>1</sub>和fmap<sub>2</sub>的问题需要满足规律：

fmap id = id

换句话说fmap id (Foo x g)需要等于Foo x g，现在如果我们使用id或const (f x)，那么id和f x并不总是等于g，至少不是如果g 是一个可以采用任何形式的函数。

如果您当然认为Foo x g 和Foo x (id x) 是等价的，在某些情况下这可能是合理的@leftaroundabout says，那么您可以将其实现为仿函数实例。