两个 beta 分布的乘积答案

【问题标题】：Product of two beta distributions两个 beta 分布的乘积
【发布时间】：2014-02-19 18:18:34
【问题描述】：

假设我有两个随机变量：

X ~ Beta(α1,β1)

Y ~ Beta(α2,β2)

我想计算 Z = XY（随机变量的乘积）的分布

使用scipy，我可以通过以下方式获取单个 Beta 版的 pdf：

from scipy.stats import beta
rv = beta(a, b)
x = np.linspace(start=0, stop=1, num=200)
my_pdf = rv.pdf(x)

但是两个 Beta 的乘积呢？我可以分析吗？（Python/Julia/R 解决方案很好）。

【问题讨论】：

标签： python r statistics julia statsmodels

【解决方案1】：

FWIW，在 Python 中也一样

from scipy import stats
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt

N = 100000

y = stats.beta(.5, .9).rvs(N)
x = stats.beta(.9, .5).rvs(N)
z = x*y
dens_z = sm.nonparametric.KDEUnivariate(z)
dens_z.fit()

dens_x = sm.nonparametric.KDEUnivariate(x)
dens_x.fit()

dens_y = sm.nonparametric.KDEUnivariate(y)
dens_y.fit()

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(dens_z.support, dens_z.density, label='z')
ax.plot(dens_x.support, dens_x.density, label='x')
ax.plot(dens_y.support, dens_y.density, label='y')
ax.legend()
plt.draw_if_interactive()

【讨论】：

【解决方案2】：

对于分析解决方案，请查看this paper 和this answer。

R中的数值方法

set.seed(1) # for reproducability

n <- 100000 # number of random variables

# first beta distribution
a1 <- 0.5
b1 <- 0.9
X <- rbeta(n, a1, b1)

# second beta distribution
a2 <- 0.9
b2 <- 0.5
Y <- rbeta(n, a2, b2)

# calculate product
Z <- X * Y

# Have a look at the distributions
plot(density(Z), col = "red", main = "Distributions")
lines(density(X), lty = 2)
lines(density(Y), lty = 2)

【讨论】：

谢谢 - 请问 - 为什么 Z 的分布偏向较低的 Z 值？（X 和 Y 似乎是相互对称的）
@user815423426 所有值都介于零和一之间。因此，乘以值总是会导致较低的值。
太棒了。谢谢斯文 - 我假设这假设 X 和 Y 之间是独立的？还是没有？
@user815423426 是的，这是假设独立的。
@user815423426 我不知道多变量 beta 分布（在 R 中）的任何实现。