简化阶跃函数的方法

Question

我有以下步进函数：

(5t + 20)[u(t + 4) − u(t + 2)] − 5t[u(t + 2) − u(t − 2)] + (5t − 20)[u(t − 2) − u(t − 4)]

解决方案将其简化为：

5(t + 4)u(t + 4) − 10(t + 2)u(t + 2) + 10(t − 2)u(t − 2) − 5(t − 4)u(t − 4)

我不明白简化是如何完成的。我明白为什么

(5t+20) = 5(t+4)

但其余的我不明白。有人可以请教我吗？

Answer 1

这似乎只是标准代数的分配定律:-)

例如，看看u(t+2)，从你的第一个任期开始：

(-5t-20) u(t+2)

从第二个开始：

(-5t) u(t+2)

结合我们得到的系数：

-5t - 20 - 5t = -10t - 20 = -10(t + 2).

Answer 2

你有以下阶跃函数：

(5t + 20)[u(t + 4) − u(t + 2)] − 5t[u(t + 2) − u(t − 2)] + (5t − 20)[u(t − 2) − u(t − 4)]

分配变量：

让单元步数：

 u(t + 4) = a
 u(t - 4) = b
 u(t + 2) = c
 u(t − 2) = d

所以现在我们有：

(5t + 20)(a - c) -5t(c - d) + (5t - 20)(d - b)

简化：

= 5ta + 20a - 5tc -20c -5tc +5td +5td +20d -5tb + 20b      //Expand it out
= 5(t+4)a -10(t+2)c +10(t-2)d -5(t-4)b                     //Group like terms
= 5(t+4)u(t+4) -10(t+2)u(t+2) +10(t-2)u(t-2) -5(t−4)u(t−4) //Add step functions back

我们开始了，你有：

1. 5(t+4)u(t+4) 一个斜坡函数，从 -4 开始，梯度为 5。（小于 -4 秒的所有值为零）
2. -10(t+2)u(t+2) 从时间 -2 开始，梯度为 -10 的斜坡函数（小于 -2 秒的所有值为零）
3. +10(t-2)u(t-2) 从时间 2 开始的斜坡函数，梯度为 10（小于 2 秒的所有值为零）
4. -5(t−4)u(t−4) 从时间 4 开始，梯度为 -5 的斜坡函数（小于 4 秒的所有值为零）

将所有这些加在一起，您会得到一个具有以下兴趣点的三角形脉冲：(-4,0)； (-2,10) ; (0,0) ; (2,-10) ; (4,0)

查看 Wolfram alpha 图表：Here

计算机应用程序 因为这是堆栈溢出而不是 math.stackexchange

三角波（像这样）是生成纯正弦波形（模拟信号）所必需的，方法是将它们与具有不同占空比 (PWM) 的方波进行比较。从根本上说，这就是 DAC（数模转换器）的工作方式以及我们旧的模拟设备如何与我们的计算机交互。这也是通过使用逆变器将交流电从直流电转换的方式。