【发布时间】：2010-09-22 09:13:36
【问题描述】：
我在阅读有关错误检测的内容时偶然发现了一个我不太理解的声明。声明说“对于 k 位字符串，我们需要 lg k 奇偶校验位来检测 2 位错误”。其中 lg 是基数 2
我不太明白为什么这是真的，是否有任何正式的推导可以证实这一点。
这本书的名字是加拉赫格的数据网络。
我并不怀疑这本书的内容，只是好奇地看到了一个推导。
谢谢， 钱德
【问题讨论】：
标签： communication parity hamming-code
【发布时间】：2010-09-22 09:13:36
【问题描述】：
查看Cyclic Redundancy Check 的维基百科页面。严格来说，奇偶校验位是 1 位检查，因此谈论超过 1 个奇偶校验位可能是等效 CRC 的简写。文章"Mathematics of CRC" 给出了更多关于推导的内容。
【讨论】：
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我更多地考虑汉明码，因为它可以检测 2 位错误并纠正 1 位错误。无论如何，我会看看这个链接。
术语
- 对于“线性”码（CRC、汉明码等），每个数据位总是影响一组固定的部分（但不是全部）奇偶校验位。例如，如果（仅）数据的第 7 位在传输过程中被翻转，并且在重新计算的奇偶校验位中翻转奇偶校验位 2 和 4 而不是奇偶校验位 5，与接收到的奇偶校验位相比，则翻转对于每个有效载荷数据位的可能帧，数据的第 7 位将翻转奇偶校验位 2 和 4，但不会翻转奇偶校验位 5。
- 有效载荷中影响特定奇偶校验位（例如奇偶校验位 5）的所有位以及该奇偶校验位本身都被该奇偶校验位“覆盖”或“保护”。
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当接收方重新计算奇偶校验位，并将重新计算的奇偶校验位与接收到的奇偶校验位进行比较时，差值称为校正子。当没有错误时，综合症为零。
In other words, syndrome = recalculated_parity XOR recieved_parity.
证明
证明需要 n 个奇偶校验位来检测 2^n 位有效载荷数据位帧中的 2 位错误：
当整帧只有1个错误时， 当接收器重新计算奇偶校验位时， 有两种情况：
- 未覆盖错误位的每个重新计算的奇偶校验位与相应接收的奇偶校验位相同。 （伴随式中对应的位为“0”）。
- 覆盖错误位的每个重新计算的奇偶校验位都与相应接收的奇偶校验位不同，并检测到错误。 （伴随式中的对应位为“1”）。
当整个帧中恰好有 2 个错误时， 生成的校正子是由每个单独的错误引起的校正子的 XOR。 接收端重新计算奇偶校验位时，有3种情况：
- (a) 每个重新计算的未覆盖任一错误位的奇偶校验位与相应接收的奇偶校验位相同。 （伴随式中对应的位为“0”）。
- (b) 每个重新计算的包含 both 错误位的奇偶校验位与相应接收到的奇偶校验位相同。 （每个错误翻转一次这样的位，并且两个翻转结合起来将该位返回到原始状态，因此校正子中的对应位为“0”）。
- (c) 覆盖一个错误位但不覆盖另一个错误位的每个重新计算的奇偶校验位与相应接收到的奇偶校验位不同，并检测到错误。 （伴随式中的对应位为“1”）。
如果假设存在一些有效载荷位，因此翻转它会产生一些综合症 S，
并且有任何其他有效载荷位产生完全相同的校正子 S，
那么一个两位错误同时命中这两个位将是不可检测的。
换句话说，该两位错误将给出S xor S == zero 的综合症。
换句话说，每个奇偶校验要么是情况（a），要么是情况（b），两者都不能检测到这样的错误。
那会很糟糕。
所以为了检测帧中每一个可能的两位错误， 我们必须设计错误检测代码，使得 每个单比特错误必须产生一个不同综合症。 换句话说，对于帧中两个错误位的每种可能情况，必须至少有 1 个类型为 (c) 的奇偶校验位。
使用 n 个奇偶校验位给出 n 个校正子位。 对于 n 个校正子位，最多有 2^n 个可能的不同校正子。 所以要确保帧中的每一位（当它是唯一的错误时）给出不同的校正子， 我们必须在帧中最多有 2^n 位。
我敢打赌，如果你在https://math.stackexchange.com/ 上发布这个问题，你会得到一个更简短、更优雅的证明:-)。
【讨论】：