如何绘制多变量函数的平滑轮廓/水平曲线答案

【问题标题】：How to draw smooth contour/level curves of multivariable functions如何绘制多变量函数的平滑轮廓/水平曲线
【发布时间】：2021-11-09 12:14:27
【问题描述】：

G'day 程序员和数学爱好者。

最近我一直在探索 CAS 图形计算器的功能；特别是，他们如何能够为多变量函数绘制水平曲线和等高线。

在我提出问题之前，请注意几点：

我将 Python 的 Pygame 库纯粹用于窗口和图形。当然还有更好的选择，但我真的很想保持我的代码尽可能原始，以努力学习最多。
是的，是的。我知道matplotlib！天哪，我见过 100 条关于使用其他支持库的不同建议。虽然它们绝对是令人惊叹且功能强大的工具，但我真的在努力从这里的基础上积累我的知识，以便有朝一日我什至能够发展和支持像它们这样的库。

我的最终目标是让情节看起来像这样平滑： Mathematica Contour Plot Circle E.g.

我目前做的是：

在 500x500 点等于 0 的网格上评估函数，具有一定的误差容限（我的是 0.01）。这为我提供了 f(x,y)=0 处水平曲线的粗略近似值。
然后我使用一个不可靠的距离函数来找到每个点的最近邻居，并在两者之间绘制一条抗锯齿线。

这两个步骤的结果可以在这里看到：

First Evaluating Valid Grid Points

Then Drawing Lines to Closest Points

由于显而易见的原因，我在图表中存在间隙，下一个最近点始终保持图表不连续。唉!我想到了另一个笨拙的解决方法。除了找到最近的点之外，它实际上会寻找下一个尚未访问过的最近点吗？这个想法很接近，但似乎仍然没有真正接近有效。以下是我实施后的结果：

Slightly Smarter Point Connecting

我的问题是，这种事情通常如何在图形计算器中实现？我一直在做这一切都错了吗？任何想法或建议将不胜感激:)

（我没有包含任何代码，主要是因为它不是很清楚，也不是特别与问题相关）。

另外，如果有人要提出一些核心数学答案，请不要害怕提出建议，我在编码和数学（尤其是数值和计算方法）方面拥有良好的背景，所以我希望我应该能够对付他们。

【问题讨论】：

semanticscholar.org/paper/…
也许我遗漏了一些东西，但您不能使用sin 和cos 来计算圆上的点，还是距离您要铺设的地基不够近
啊，好问题，我应该指定的。当然我可以用一百万种不同的方式画一个圆，但我试图将这个问题推广到任何形式为 f(x,y)+c = 0 的多变量函数

标签： python math pygame calculator

【解决方案1】：

所以您正在评估平面上每个 x 和 y 点的方程。然后你检查结果是否

检查是否应绘制点的更好方法是检查以下情况之一是否为真：
(a) 如果点为零
(b) 如果该点为正且至少有一个负邻
(c) 如果该点为负且至少有一个正邻居

这有 3 个问题：

它不支持任何类型的抗锯齿，因此结果看起来不会像您想要的那样平滑
您不能制作更粗的线条（超过 1 个像素）
如果 0 点线只是接触（两边为正，一侧不为正，另一侧为负）

第二种解决方案可能会解决这些问题，但它是由我制作的，未经测试，因此它可能有效，也可能无效：

您将值分配给一个角，然后为每个点从其角计算到零线的距离。这是寻找距离的算法：

def distance(tl, tr, bl, br):  # the 4 corners
   avg = abs((tl + tr + bl + br) / 4)  # getting the absolute average
   m = min(map(abs, (tl + tr + bl + br)))  # absolute minimum of points
   if min == 0:  # special case
        return float('inf')
   return avg / m  # distance to 0 point assuming the trend will continue

这将返回到您现在可以绘制像素的 0 线的估计距离，例如如果你想要一条 5 像素的线，那么如果结果为 *255，如果你使用的是 pygames alpha选项）

这个解决方案假设函数有点线性。

尝试一下，最坏的情况下它不起作用......

【讨论】：

【解决方案2】：

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.30.1319&rep=rep1&type=pdf

这个 21 页的文档包含了我准确流畅地绘制隐式曲线所需的一切。它甚至涵盖了优化方法并支持隐式函数的分岔点。强烈推荐给任何与我上面类似的问题的人。

感谢所有提出建议和澄清问题的人，他们都帮助我找到了这个资源。

【讨论】：