如何实现 K-Means++ 算法？

Question

我无法完全理解K-Means++ algorithm。我很感兴趣第一个k 质心是如何选择的，即初始化，其余部分就像原始K-Means algorithm 一样。

1. 使用的概率函数是基于距离还是高斯？
2. 同时选择最远的点（距其他质心）作为新质心。

我会欣赏一步一步的解释和一个例子。 Wikipedia 中的那个不够清楚。还有一个很好注释的源代码也会有所帮助。如果您使用 6 个数组，那么请告诉我们哪一个是做什么用的。

Answer 1

有趣的问题。感谢您让我注意到这篇论文 - K-Means++: The Advantages of Careful Seeding

简单来说，聚类中心最初是从输入观察向量集中随机选择的，如果x 不在任何先前选择的中心附近，则选择向量x 的概率很高。

这是一个一维的例子。我们的观察结果是 [0, 1, 2, 3, 4]。令第一个中心c1 为0。下一个聚类中心c2 为x 的概率与||c1-x||^2 成正比。因此，P(c2 = 1) = 1a，P(c2 = 2) = 4a，P(c2 = 3) = 9a，P(c2 = 4) = 16a，其中 a = 1/(1+4+9+ 16).

假设 c2=4。那么，P(c3 = 1) = 1a，P(c3 = 2) = 4a，P(c3 = 3) = 1a，其中a = 1/(1+4+1)。

我已经用 Python 编写了初始化过程；不知道对你有没有帮助。

def initialize(X, K):
    C = [X[0]]
    for k in range(1, K):
        D2 = scipy.array([min([scipy.inner(c-x,c-x) for c in C]) for x in X])
        probs = D2/D2.sum()
        cumprobs = probs.cumsum()
        r = scipy.rand()
        for j,p in enumerate(cumprobs):
            if r < p:
                i = j
                break
        C.append(X[i])
    return C

编辑澄清：cumsum 的输出为我们提供了划分区间 [0,1] 的边界。这些分区的长度等于相应点被选为中心的概率。那么，由于r 是在[0,1] 之间统一选择的，它将恰好落入这些区间之一（因为break）。 for 循环检查r 在哪个分区。

例子：

probs = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]
cumprobs = [0.1, 0.3, 0.6, 1.0]
if r < cumprobs[0]:
    # this event has probability 0.1
    i = 0
elif r < cumprobs[1]:
    # this event has probability 0.2
    i = 1
elif r < cumprobs[2]:
    # this event has probability 0.3
    i = 2
elif r < cumprobs[3]:
    # this event has probability 0.4
    i = 3

Answer 2

一个班轮。

假设我们需要选择2个聚类中心，而不是全部随机选择{就像我们在简单的k均值中所做的}，我们将随机选择第一个，然后找到离第一个中心最远的点{这些点很可能不属于第一个聚类中心，因为它们离它很远}并在这些远点附近分配第二个聚类中心。

Answer 3

我已经根据 Toby Segaran 的《集体智能》一书和此处提供的 k-menas++ 初始化准备了 k-means++ 的完整源代码实现。

这里确实有两个距离函数。对于初始质心，使用基于 numpy.inner 的标准质心，然后使用 Pearson 固定质心。也许 Pearson 也可以用于初始质心。他们说这样更好。

from __future__ import division

def readfile(filename):
  lines=[line for line in file(filename)]
  rownames=[]
  data=[]
  for line in lines:
    p=line.strip().split(' ') #single space as separator
    #print p
    # First column in each row is the rowname
    rownames.append(p[0])
    # The data for this row is the remainder of the row
    data.append([float(x) for x in p[1:]])
    #print [float(x) for x in p[1:]]
  return rownames,data

from math import sqrt

def pearson(v1,v2):
  # Simple sums
  sum1=sum(v1)
  sum2=sum(v2)

  # Sums of the squares
  sum1Sq=sum([pow(v,2) for v in v1])
  sum2Sq=sum([pow(v,2) for v in v2])    

  # Sum of the products
  pSum=sum([v1[i]*v2[i] for i in range(len(v1))])

  # Calculate r (Pearson score)
  num=pSum-(sum1*sum2/len(v1))
  den=sqrt((sum1Sq-pow(sum1,2)/len(v1))*(sum2Sq-pow(sum2,2)/len(v1)))
  if den==0: return 0

  return 1.0-num/den

import numpy
from numpy.random import *

def initialize(X, K):
    C = [X[0]]
    for _ in range(1, K):
        #D2 = numpy.array([min([numpy.inner(c-x,c-x) for c in C]) for x in X])
        D2 = numpy.array([min([numpy.inner(numpy.array(c)-numpy.array(x),numpy.array(c)-numpy.array(x)) for c in C]) for x in X])
        probs = D2/D2.sum()
        cumprobs = probs.cumsum()
        #print "cumprobs=",cumprobs
        r = rand()
        #print "r=",r
        i=-1
        for j,p in enumerate(cumprobs):
            if r 0:
        for rowid in bestmatches[i]:
          for m in range(len(rows[rowid])):
            avgs[m]+=rows[rowid][m]
        for j in range(len(avgs)):
          avgs[j]/=len(bestmatches[i])
        clusters[i]=avgs

  return bestmatches

rows,data=readfile('/home/toncho/Desktop/data.txt')

kclust = kcluster(data,k=4)

print "Result:"
for c in kclust:
    out = ""
    for r in c:
        out+=rows[r] +' '
    print "["+out[:-1]+"]"

print 'done'

数据.txt：

p1 1 5 6
p2 9 4 3
p3 2 3 1
p4 4 5 6
p5 7 8 9
p6 4 5 4
p7 2 5 6
p8 3 4 5
p9 6 7 8