(Matlab) 关于迭代结果的考题

Question

我正在准备数字分析的笔试。

有以下类型的多选题：

下面的代码给出了最接近...的打印输出。

N=100;
dt=0.5/N;
x=1;
for n=1: N-1
x=x+dt*x*x;
end
display(x);

正确选项：2

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下面的代码给出了最接近...的打印输出。

N=100;
x=1;
y=1;
for n=1: N-1
x = x - (x-exp(-x))/(1+exp(-x));
y = y - (y-exp(-y));
end
display(x-y)

正确选项：0

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下面的代码有一个打印输出，最常见的是......

s=0.0;
N=10000;
for n=1:N
x=rand(1);
s=s+3*x*x+x;
end
display(s/N)

正确选项：1.5

对于第一个问题，我认为是使用了欧拉法，但我无法得出第二个问题。我不确定如何解决第二个和第三个问题。

我可以使用某种通用策略来确定这样的迭代应该收敛到什么方向（不使用计算机）？

Answer 1

一般策略是查看正在实施的迭代正在做什么。

第一个问题

这是dx/x^2=dt，即1/x0-1/x=t，即x=x0/(1-x0*t)=1/(1-1*0.5)=2。

第二个问题

x 的方程是f(x)=x-exp(-x) 的牛顿法，即f'(x)=1+exp(-x)，所以解是x=exp(-x) 的根。

y 的方程是y=exp(-y) 的定点迭代。这两个都有相同的解决方案x=y=0.5671 (4sf)。

第三个问题

rand(1) 是 [0,1] 上的均匀分布，均值 1/2 和方差 1/12 所以 <x^2>=1/12+1/4=1/3 和 3<x^2>+<x>=3/3+1/2=1.5。