迭代给定大小的所有子集答案

【问题标题】：Iterating over all subsets of a given size迭代给定大小的所有子集
【发布时间】：2013-04-10 17:12:19
【问题描述】：

我知道迭代一组大小为 n 的所有子集是一场性能噩梦，需要 O(2^n) 时间。

如何迭代所有大小为 k 的子集（对于 (0

就 n 和 k 而言，最差情况下的性能是多少？除了O（n！/ k！（n - k）！）之外，还有更简单的说法吗？这是渐近小于 O(n!) 还是一样？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

你想要 Gosper 的破解：

int c = (1<<k)-1;
while (c < (1<<n)) {
  dostuff(c);
  int a = c&-c, b = c+a;
  c = (c^b)/4/a|b;
}

解释：

找到设置了尽可能多的位的下一个数字基本上可以简化为只有一个“1 块”的数字的情况 --- 数字有一堆零，然后是一堆一，然后又是一堆零他们的二进制扩展。

处理这样一个“1 块”数字的方法是将最高位向左移动一位，并将所有其他位尽可能低。 Gosper 的破解方法是找到最低设置位 (a)，找到包含我们不接触的位和“进位位”(b) 的“高位”，然后生成一组适当的位从最低有效位开始的大小。

【讨论】：

【解决方案2】：

很容易证明，对于固定的n，(n, k) 的最大值为k = n/2。如果我没有误用 Sterling 的近似值，(n, n/2) 的渐近行为是指数的。

对于常量k，(n, k) 是O(n^k)。请记住，组合函数是对称的，因此(n, n-k) 也是如此。它是多项式，所以它比O(n!) 小。

【讨论】：