如何在 Coq 的证明中应用 Fixpoint 定义？

Question

我很难理解如何在证明中使用我在 Coq 中定义的一些东西。我有这个定义和功能片段：

Inductive string : Set :=
| E  : string
| s  : nat -> string -> string.

Inductive deduce : Set :=
|de : string -> string -> deduce.

Infix "|=" := de. 

Inductive Rules : deduce -> Prop :=
| compress : forall (n   : nat) (A    : string), rule (( s n ( s n A))  |= ( s n A))
 | transitive : forall A B C : string, rule (A |= B) -> rule (B |= C) -> rule (A |= C).

Fixpoint RepString (n m : nat): string:=
match n with  
|0 => E
|S n => s m ( RepString n m)
end.

我需要证明一些看似简单的事情，但我遇到了两个问题：

Lemma LongCompress (C : string)(n : nat): n >=1 -> Rules 
((RepString n 0 ) |= (s 0 E) ).
Proof.
intros.
induction n.
inversion H.
simpl.
apply compress.

所以这里我有一个问题，我得到：

"Unable to unify "Rules (s ?M1805 (s ?M1805 ?M1806) |= s ?M1805 ?M1806)" with 
"Rules (s 0 (RepString n 0) |- s 0 E)".'"

现在，我知道为什么会出现错误，虽然从技术上讲 RepString n 0 与 s 0 (s 0 (s 0( ... s 0 E))) 相同，但我根本找不到让 coq 知道的方法，我尝试过与 apply compress with 混淆10 件不同的事情我仍然无法做到。我需要像那样“展开”它（当然unfold 不起作用......）。

我没有想法，非常感谢您对此的任何意见！

从现在开始编辑。

Inductive Rules : deduce -> Prop :=
| compress : forall (n   : nat) (A    : string), rule (( s n ( s n A))  |= ( s n A))
 | transitive : forall A B C : string, rule (A |= B) -> rule (B |= C) -> rule (A |= C)
 | inspection : forall (n m : nat) (A    : string), m < n -> rule ((s n A) |- (s m A)).

 Definition less (n :nat )  (A B : string) :=  B |= (s n A).
 Lemma oneLess (n m : nat):  rule (less 0 (RepString n 1) (RepString m 1)) <-> n< m.

我已经概括了 Anton Trunov 帮助我证明的引理，但现在我遇到了另一面墙。我认为问题可能从我编写定理本身的方式开始，我会欣赏任何想法。

Answer 1

我会证明一些更一般的东西：对于任何两个非空零字符串 s = 0000...0 和 t = 00...0，如果是 length s > length t，那么是 s |= t，即

forall n m,
  m <> 0 ->
  n > m -> 
  Rules (RepString n 0 |= RepString m 0).

这是一个辅助引理：

Require Import Coq.Arith.Arith.
Require Import Coq.omega.Omega.
Hint Constructors Rules.  (* add this line after the definition of `Rules` *)

Lemma LongCompress_helper (n m k : nat):
  n = (S m) + k ->
  Rules (RepString (S n) 0 |= RepString (S m) 0).
Proof.
  generalize dependent m.
  generalize dependent n.
  induction k; intros n m H.
  - Search (?X + 0 = ?X). rewrite Nat.add_0_r in H.
    subst. simpl. eauto.
  - apply (transitive _ (RepString n 0) _); simpl in H; rewrite H.
    + simpl. constructor.
    + apply IHk. omega.
Qed.

现在，我们可以轻松证明我们宣传的一般引理：

Lemma LongCompress_general (n m : nat):
  m <> 0 ->
  n > m -> 
  Rules (RepString n 0 |= RepString m 0).
Proof.
  intros Hm Hn. destruct n.
  - inversion Hn.
  - destruct m.
    + exfalso. now apply Hm.
    + apply LongCompress_helper with (k := n - m - 1). omega.
Qed.

很容易看出，任何足够长的零字符串都可以压缩成单例字符串0：

Lemma LongCompress (n : nat):
  n > 1 -> Rules ( RepString n 0  |= s 0 E ).
Proof.
  intro H. replace (s 0 E) with (RepString 1 0) by easy.
  apply LongCompress_general; auto.
Qed.