这种最长公共子串的方法是否正确？

Question

我找到了Longest Common Substring 的算法。通常使用dynamic programming 完成，使用大小为mxn 的二维数组，其中m 和n 是所考虑的两个字符串的长度。

我将为这两个字符串构造以下​​矩阵。

M[i][j] = 1 if s1[i]==s2[j] else 0.

例如，如果字符串是：abcxy 和 pqaabx

矩阵如下：

    a b c x y
 p  0 0 0 0 0
 q  0 0 0 0 0
 a  1 0 0 0 0
 a  1 0 0 0 0
 b  0 1 0 0 0
 x  0 0 0 1 0

现在，我在从左上到右下方向的每个对角线中搜索1s 的最大连续序列。

其中的最大值就是答案。

我可以在不显式使用数组的情况下执行上述操作。时间复杂度仍然是O(M*N)。所以，不需要内存。

谁能指出我哪里出错了？

Answer 1

你的方法是正确的。为了证明，假设 S1 和 S2 的最长公共子串来自 S1[i..j] 和 S2[p..q]。 这意味着 S1[i+k] = S2[p+k]

这些都位于从 (i,p) 开始的对角线上。

动态规划解决方案做同样的事情，但不是先计算表并通过对角路径，而是根据对角父项加上它们是否匹配来计算表。

已编辑

关于您对使用额外内存的维基百科解决方案的评论。它只是为了清楚起见。原则上，您只需要维基百科解决方案中的两行矩阵，并将当前最大计数保留在一个变量中。这是正确的，因为对于矩阵中的任何第 (i,j) 个条目

M(i,j) = 1 + M(i-1, j-1)（如果 s1[i] == s2[j]）

如您所见，当前行元素仅依赖于上一行的元素。

Answer 2

您的算法是正确的，但标准 DP 方法消除了您的第二阶段，并使解决方案更简单。

您可以在构建矩阵时计算对角线长度，而不是标记布尔值然后扫描对角线以查找最长序列 - 只需要一次。

就时间和空间复杂度而言，两种解决方案都是 O(NxM)。如果您使用位矩阵表示，您的解决方案可以节省一些内存，而其他解决方案可能会稍微快一些。