猜数字，允许说谎答案

【问题标题】：Guess the number, with lying allowed猜数字，允许说谎
【发布时间】：2011-04-15 17:57:54
【问题描述】：

我很确定你们都知道猜数字游戏（这里似乎已经有很多问题了），其中 Alice 想到了一个正整数，而 Bob 试图猜它。爱丽丝的回应是说“你知道了”、“低”、“高”。 Bob 可以做的常用策略是进行二分搜索，在 O(log n) 次猜测中猜测数字，其中 n 是 Alice 正在考虑的数字。

我一直想知道允许爱丽丝撒谎的变种。

假设现在允许 Alice 撒谎的次数是固定的（之前 Alice 和 Bob 都知道），但只有在回答“High”、“Low”时才允许撒谎（即，如果 Bob 猜对了数字，她不得不承认）。

Bob 还能猜出 O(log n) 次猜测中的数字吗？

如果允许 Bob 进行其他查询，例如“到目前为止，您撒了多少次谎？”，那会怎样？（爱丽丝必须如实回答）？ O(log n) 查询仍然可能吗？

编辑：如果谎言的数量也被允许为 O(logn) 怎么办，并且额外的查询是：你撒谎的次数是否超过 x 次？爱丽丝被允许对他们撒谎......

为编辑道歉。

【问题讨论】：

标签： algorithm

【解决方案1】：

运行通常的二分搜索算法。要么你得到答案，要么你得到一个不一致的结果（一个空的候选集）。如果你得到一个不一致的地方，爱丽丝一定至少撒了一次谎。重新启动二分查找。除非我遗漏了什么，否则在 O(k*log(n)) 步骤之后你会得到答案（加上她撒谎次数的下限）。您不需要先验地知道 k。

【讨论】：

我想那是愚蠢的：一旦你完成了，你就知道她撒了多少次谎。至于优化，在最坏的（确定性）情况下，我认为你无法击败 k*log(n)，因为 Alice 不必在任何给定运行的最后一个问题之前撒谎。如果你能用随机算法打败它，我不知道；这是个好问题。
我认为关键是一旦你得到一个空集，就能够为下一轮选择一个更好的起点（而不是中间）。
谢谢！我想保持简单，结果太简单了:-)
@Dante：我认为这仍然只是一个下限，因为在你达到不一致之前，Alice 可能会撒谎两次或更多次。
对于任何未来的搜索者，我也在 math.stackexchange 上找到了这个页面以获得更深入的解决方案：math.stackexchange.com/questions/172372/…

【解决方案2】：

我认为它仍然是 O(log n)，因为您指定 Alice 只能撒谎的次数是固定的。这意味着她最多可以将 Bob 的猜测数量乘以一个常数。

假设爱丽丝可以撒谎 5 次。现在，无论爱丽丝什么时候撒谎，她最终都不得不自相矛盾。 Bob 会注意到这一点，并可以重新开始他的二分搜索。 Alice 也被限制在 O(log n) 次猜测范围内，否则 Bob 将正确猜测数字，而 Alice 将失去机会。

因此，在最坏的情况下，爱丽丝撒谎五次，每次/就在/鲍勃得到答案之前，她只是让鲍勃的二分搜索进行 6*(log n) 次猜测（五个谎言 + 一个正确答案），仍然是 O(log n)。

【讨论】：