两个字符串序列中的最长公共子串

Question

刚刚学习了最长公共子串算法，我对这个问题的一个特定变体很好奇。描述如下-:

给定两个非空字符串序列，X = (x1, x2, x3,....,x(n)) 和 Y = (y1, y2, y3,..., y(m)) ，其中 x(i) 和 y(i) 是字符串，在 X 中找到 最长 字符串，它是 Y 的 all 字符串的子字符串。

我有一个函数substring(x, y)，它返回描述 x 是否是 y 中的子字符串的布尔值。显然，我必须将 Y 中的所有字符串连接起来形成一个大字符串，例如，用 B 表示。我想到了以下方法-：

• 朴素：首先将 X 中的所有字符串连接起来形成一个字符串 A(n)。应用 substring(A(n), B) - 这包括在字符串 A(n) 中向后迭代。如果为真，则算法在此处结束并返回 A(n) - 或包含在所述子字符串中的任何部分。如果不是，则继续申请 (A(n - 1), B) 等等。如果 X 中不存在这样的字符串，则返回空字符串。

显然，这种方法会占用相当多的运行时间，具体取决于实现。假设我使用迭代方法，在每次迭代中，我必须在该级别/索引处向后迭代字符串，然后应用 substring()。这将需要至少两个循环和O(size(B) * maxlength(x1, x2,...)) 最坏情况时间，或者更多取决于 substring() （如果错误，请纠正我）。

我想到了基于后缀树/数组的第二种方法。

• 广义后缀树：我在O(maxlength(y1, y2,...)(?) 中使用 Ukkonen 算法构建了序列 Y 的 GST。我对后缀树咬伤的知识缺乏。我相信后缀树方法会大大减少查找子字符串的运行时间（以空间为代价），但我不知道如何实现该操作。

如果有更好的方法，我很想知道。

编辑：抱歉，如果我似乎放弃了这个话题。

如果我不使用 GST，而是使用一些标准数据结构，例如堆栈、队列、集合、堆、优先级队列等，会怎样？必须对序列 X 进行排序，首先是最大的字符串。如果我将它存储在一个字符串数组中，我将不得不使用诸如mergesort/quicksort之类的排序算法。目标是尽可能获得最有效的运行时间。

我不能将 X 存储在一个结构中，当它自己构建时，它会自动对其元素进行排序？那么最大堆呢？

后缀树似乎是以这种方式查找子字符串的最佳方式。还有其他我可以使用的数据结构吗？

Answer 1

首先，将最长字符串的数组 X 排序为更短。这样，X 中作为所有 Y 字符串的子字符串的第一个字符串就是解。

多处理器算法将是解决用所有 Y 字符串快速测试每个 X 字符串问题的最佳方法。

Answer 2

这是我对解决您问题的想法；我不确定所有内容，因此如果您认为值得努力，欢迎 cmets 对其进行改进。

从计算 Y 中所有字符串的所有公共子串开始。首先取两个字符串，并构建所有公共子串的树。然后，对于 Y 中的每个其他字符串，从映射中删除该字符串中未出现的每个子字符串。复杂度与 Y 中的字符串数量成线性关系，但我无法确定树中有多少元素，因此无法估算出最终的复杂度。

然后找到 X 中最长的字符串，它是树中一个的子字符串。

必须进行一些改进以使树尽可能小，例如只保留不是其他子串的子串。

Answer 3

写作 |Y|对于集合 Y 中的字符串数，以及它们的总长度 len(Y)：

1. 将 Y 中的字符串处理为 generalized suffix tree（例如，使用 Ukkonen's algorithm）。假设字母大小不变，耗时 O(len(Y))。

2. 根据该节点标识的字符串是否属于Y中的所有字符串来标记后缀树中的每个节点。耗时O(|Y| len(Y))。

3. 对于X中的每一个字符串，在后缀树中查找，看看该节点是否被标记为属于Y中的所有字符串。输出最长的这样标记的字符串。耗时 O(len(X))。

总时间：O(|Y| len(Y)) + O(len(X))。