单应矩阵中的元素是什么意思？答案

【问题标题】：What do the elements in a homography matrix mean?单应矩阵中的元素是什么意思？
【发布时间】：2012-08-17 17:11:44
【问题描述】：

我是图像处理的新手，但我正在使用 EMGU 进行 C# 图像分析。但是，我知道单应矩阵并不是 EMGU 独有的，所以也许有其他语言知识的人可以更好地解释。

请（尽可能简化）有人可以解释每个元素的作用。我在网上查了这个，但找不到我能正确理解的答案（正如我所说，我对这一切有点陌生！）

我分析了 2 张图像，都是 2 维的。因此需要一个 3x3 矩阵来解释图像的旋转/平移。如果未检测到运动，则单应矩阵为： 100, 010, 001

10,01 位是 x 和 y 坐标的旋转。 Tx 和 Ty 位是平移运动，但 XXX 位是什么？这是我不明白的？它与仿射变换有关吗？请有人解释一下： 1. 如果我目前在上面所说的是正确的。 2. XXX位是什么意思

【问题讨论】：

my answer to this similar question 对您有帮助吗？如果是这样，我们可以把它当作一个骗子来关闭。
不是真的......正如我所说，我是新手，所以你必须忍受我......我知道我们不能使用非方阵，但我还是不明白最后一行是做什么的？例如，在我所做的研究中，它使用第三行计算了 Z = 1/tz，但我不知道这个 tz 是什么，因此我不知道 Z 是什么。
@Mattb2291 检查此答案以了解单应性如何与旋转和平移相关，并将 2D 点投影到 3D 坐标。 stackoverflow.com/a/10750648/744859

【解决方案1】：

如果你掌握了矩阵乘法，这并不难理解。假设你指向x 是

/a\
\b/,

你想将坐标系旋转A:

/3 4\
\5 6/

然后通过t“移动”它

/2\
\2/.

后面的矩阵是仿射变换得到新点y的分量：

y = A*x + t = <a'; b'>T //(T means transposed).

如您所知，要得到它，可以构造一个 3d 矩阵 B 和一个向量 x' 看起来像

    /3 4 2\         /a\
B = |5 6 2| ,  x' = |b|
    \0 0 1/         \1/

这样

     /a'\
y' = |b'| = B*x'
     \ 1/

您可以从中提取y。让我们看看它是如何工作的。在原始转换（使用加法）中，第一步是执行乘法，即。旋转部分y_r:

y_r = A*x = <3a+4b; 5a+6b>T

然后你添加“绝对”部分：

y = y_r + t = <3a+4b+2; 5a+6b+2>T

现在看看B 是如何工作的。我会逐行计算y'：

1) a' = 3*a + 4*b + 2*1

2) b' = 5*a + 6*b + 2*1

3) the rest: 0*a + 0*b + 1*1 = 1

正是我们所期望的。首先，计算旋转部分——加法和乘法。然后，平移部分的 x 部分被添加，乘以 1——它保持不变。第二行也一样。

在第三行中，a 和 b 被删除（乘以 0）。最后一部分保持不变，恰好是1。因此，关于最后一行的所有内容都是“删除”该点的值并保留 1。

因此，可以说 2x3 矩阵就足够了。这部分正确，但有一个明显的缺点：您失去了可组合性。假设你对B基本满意，但想镜像一个坐标。然后你可以选择另一个变换矩阵

    /-1 0 0\
C = | 0 1 0|
    \ 0 0 1/

并且有结果

y'' = C*B*x' = <-3a+4b+2; 5a+6b+2; 1>T

这种简单的乘法不能用 2x3 矩阵轻松完成，这仅仅是因为矩阵乘法的特性。

原则上，在上面，最后一行（XXX）也可以是<0;0;x> 形式的任何其他内容。它只是为了降低点值。然而，必须完全像这样才能通过乘法进行合成。

最后，wikipedia 在这种情况下对我来说似乎提供了很多信息。

【讨论】：

【解决方案2】：

首先仿射变换是那些保留直线并且可以任意维度的变换

Homography 描述了跨两个平面的映射或在纯相机旋转期间发生的情况。

最后一行代表各种剪切（即当x是x，y的函数时）

【讨论】：