比较与自适应近似相等的双打

Question

我正在尝试制作一个自适应的“大约相等”方法（用 C# 编写，但问题很笼统）接受两个双精度数并返回一个布尔值，如果它们“大约相等”或不“大约相等”。我所说的自适应是指：

1.234 和 1.235 ==> 正确

但是

1.234567 和 1.234599 ==> 错误

即“大约相等”的精度适应数字的精度。

我在How do I find if two variables are approximately equals? 找到了一个舍入的概念，但对于 epsilon 使用什么仍然存在开放式问题。

有人知道此类问题的最佳实践吗？ 提前致谢！

编辑： 我最初的问题没有包含足够的信息来说明我想要得到什么。很抱歉，我很抱歉。我想要一个程序，它可以将更高的精度数字处理为更高的标准，同时对更低的精度数字更宽容。对的更多示例是（其中 '(0)' 是隐含的零）：

1.077 和 1.07(0) 返回 false（因为 77 与 70 非常不同）

1.000077 和 1.00007(0) 返回 false（因为 77 与 70 非常不同）

1.071 和 1.07(0) 返回 true（因为 71 接近 70

1.000071 和 1.00007(0) 返回 true（因为 71 接近 70）

不管实现代码如何，我都假设会有某种“公差”变量来确定什么是“非常不同”，什么是“接近”。

Answer 1

比较浮点数的一种方法是比较有多少浮点表示将它们分开。此解决方案与数字的大小无关，因此您不必担心“epsilon”。

算法的描述可以在here（最后是AlmostEqual2sComplement函数）找到，这是我的C#版本。

public static class DoubleComparerExtensions
{
    public static bool AlmostEquals(this double left, double right, long representationTolerance)
    {
        long leftAsBits = left.ToBits2Complement();
        long rightAsBits = right.ToBits2Complement();
        long floatingPointRepresentationsDiff = Math.Abs(leftAsBits - rightAsBits);
        return (floatingPointRepresentationsDiff <= representationTolerance);
    }

    private static unsafe long ToBits2Complement(this double value)
    {
        double* valueAsDoublePtr = &value;
        long* valueAsLongPtr = (long*)valueAsDoublePtr;
        long valueAsLong = *valueAsLongPtr;
        return valueAsLong < 0
            ? (long)(0x8000000000000000 - (ulong)valueAsLong)
            : valueAsLong;
    }
}

如果您想比较浮点数，请将所有double 更改为float，将所有long 更改为int 并将0x8000000000000000 更改为0x80000000。

Answer 2

float 和double 的思维方式并不精确。程序通过截断尾随零来伪造精度......但您不能将这个技巧用于您的目的，因为舍入错误会阻止这种技巧的可靠性。

decimal 确实跟踪小数点右侧要放置多少位，但这对于实现您提出的算法仍然毫无价值，因为任何引入表示错误的操作（例如，除以 3）将倾向于最大化小数点右侧的位数。

如果您想根据数据的已知精度实际获得模糊相等，一种方法是创建您自己的数字类。像这样的：

public class DoublePrecise
{
    public readonly double Error;
    public readonly double Value;
    public DoublePrecise(double error, double value) {
        Error = error;
        Value = value;
    }
    public static DoublePrecise operator -(DoublePrecise d1, DoublePrecise d2) {
        return new DoublePrecise(d1.Value - d2.Value, d1.Error + d2.Error);
    }
    //More stuff.
}

基本上，这是让您代表 10.0±0.1 这样的数字。在这种情况下，如果两个数字的范围重叠，您会将它们视为近似相等（尽管实际上，这会使您的相等运算意味着“可能相等”，而您的不等式运算意味着“绝对不相等”。

另请参阅，Interval Arithmetic

Answer 3

你可以将一个除以另一个，看看结果是否接近一，例如

var ratio = a / b;
var diff = Math.Abs(ratio - 1);
return diff <= epsilon;

然后你只需要选择你的 epsilon 来决定这些值必须有多接近。

但是，在您的示例中，您的第一个示例相差 0.08%，而第二个示例相差 0.003%，但您希望第一个为真，第二个为假。我不确定您真正在寻找什么，您需要先了解这一点，然后才能决定问题的解决方案。 （需要正确的问题才能得到正确的答案）您可能会想象“最后一个有效数字可以不同，但​​不会更多”，但用数学术语定义它并不是那么简单。例如。 0.49999999997 应该等于 0.5 吗？那么0.500000000003呢？比较这些数字有何意义？