无向图转换为树

Question

给定一个undirected graph，其中每个节点在空间中都有一个笛卡尔坐标，具有树的一般形状，是否有算法将图形转换为树，并找到合适的根节点？

请注意，我们对“树”的定义要求分支不能以锐角偏离父节点。

请参阅下面的示例图。我们如何找到红色节点？

Answer 1

这里是关于如何解决您的问题的建议。

先决条件

• 符号：
  
  • g 图，g.v 图顶点
  • v,w,z：单个顶点
  • e: 个人优势
  • n: 顶点数
• 无向树 g 和给定节点 g.v 的任何组合唯一地确定具有根 g.v 的有向树（可通过归纳证明）

想法

• 通过g 隐含的有向树中的方向补足g 的边，并通过g 节点处的局部计算补足尚未找到的根节点。
• 这些方向将代表节点之间的子父关系（v -> w：v 子，w 父）。
• 完全标记的树将包含一个出度为 0 的唯一节点，这是所需的根节点。您最终可能会得到 0 个或多个根节点。

算法

假定图/树结构的标准表示（例如邻接表）

1. g.v 中的所有顶点最初都标记为未访问，未完成。

2. 以任意顺序访问所有顶点。跳过标记为“已完成”的节点。
   让v 成为当前访问的顶点。

   • 2.1 从一个随机选择的e_0 开始顺时针扫过链接v 的所有边，按照边与e_0 的角度顺序排列。

   • 2.2。定向相邻的边缘e_1=(v,w_1), e_2(v,w_2)，它们包围一个锐角。
     相邻：wrt 根据它们与e_0 包围的角度进行排序。

     [注意：不能保证这样一对的存在，请参阅第二条评论和最后一条评论。如果没有锐角，则从 2. 处理下一个节点。 ]

     • 2.2.1 边e_1, e_2 的方向是已知的：

       • w_1 -> v -> w_2: 不可能，因为祖父子段会包围一个锐角
       • w_1 <- v <- w_2：不可能，同理

       • w_1 <- v -> w_2：不可能，树中没有出度>1的节点

       • w_1 -> v <- w_2:
         只有可能的一对方向。 e_1, e_2 之前可能已经定位。如果先前的方向违反了当前的分配，则问题实例没有解决方案。

     • 2.2.2 此分配意味着子图上的树结构由在不包含e_1 (e_2`的路径上可从w_1 (w_2) 到达的所有顶点诱导。将两个诱导子树中的所有顶点标记为已完成

       [注意：子树结构可能违反角度约束。在这种情况下，问题没有解决方案。 ]

   • 2.3 标记v 已访问。在顶点 v 完成步骤 2.2 后，检查尚未分配方向的连接边的数量 nc。

     • nc = 0：这是您一直在寻找的根目录 - 但您必须检查解决方案是否与您的约束兼容。

     • nc = 1：让这条边为(v,z)。
       这条边的方向是 v->z，就像你在树上一样。将 v 标记为已完成。

       • 2.3.1 检查z是否标记为完成。 如果不是，请检查连接z 的无向边的数量nc2。 nc2 = 1：重复步骤 2.3，将 z 替换为 v。

3. 如果您还没有找到根节点，则您的问题实例不明确： 随意定位剩余的未定向边。

备注

1. 终止： 每个节点最多访问 4 次：

   • 每步骤 2 一次
   • 每步最多两次 2.2.2
   • 每步 2.3 最多一次

2. 正确性：

   • 所有包含锐角的边都按照步骤 2.2.1 进行定向

3. 复杂度（时间）：

   • 访问每个节点：O(n);

   • 顺时针扫过连接给定顶点的所有边需要对这些边进行排序。
     因此，您需要O( sum_i=1..m ( k_i * lg k_i ) ) 在约束sum_i=1..m k_i = n 下的m <= n 顶点。

     总的来说，这需要O ( n * lg n)，因为sum_i=1..m ( k_i * lg k_i ) <= n * lg n 给定sum_i=1..m k_i = n 对于任何m <= n（可通过应用拉格朗日优化来证明）。

     [注意：如果你的树的度数以常数为界，理论上你在每个受影响的节点上以常数时间排序；在这种情况下总计：O(n) ]

   • 子树标记：
     如果实现为 dfs，则此过程最多访问图中的每个节点 2 次。因此总共有O(n) 用于调用此子例程。

     总计：O(n * lg n)

4. 复杂度（空间）：

   • O(n) 用于排序（顶点度数不固定）。

5. 问题可能定义不明确：

   • 多种解决方案：例如斯坦纳树
   • 没有解决方案：例如图形形状像一个双尖箭头 ()

Answer 2

一个简单的解决方案是围绕红色节点或节点中心定义一个二维矩形，并使用摩尔曲线计算每个节点。摩尔曲线是一种空间填充曲线，更多的是希尔伯特曲线的特殊版本，其中起点和终点相同，坐标位于二维矩形的中间。一般来说，您的问题看起来像一个离散的寻址空间问题。