圆形几何的解析通量

Question

我有一个问题，我需要比较由 x^2+y^2=0.5^2 定义的圆形几何图形周围的解析通量和数值通量。

通量由 grad(u).n 定义，其中我选择 u_analytical 为 (x^2+y^2 , 0) 二维。 公式中的 n 是圆的表面法线，所以我认为是 (2x/sqrt(4x^2+4y^2) , 2y/sqrt(4x^2+4y^2) )。所以我在 x 方向的通量只有 (4x^2/sqrt(4x^2+4y^2) + 4y^2/sqrt(4x^2+4y^2)) 但我的数值解远非如此。我在这里犯了任何根本性错误吗？

提前致谢。

Answer 1

我想我是在阅读了其他一些相关/类似的帖子后才明白这一点的。最简单的思考方法是使用散度定理将通量 \int_S (grad(u).n) dS 的表面积分转换为体积积分 \int_V div (grad(u)) dV。从那里我知道 div (grad(u)) = 4 和 dV 是圆的面积 = pi*r^2 使得 4*pi*r^2 是分析通量。