河内之塔：寻找第 n 个配置

Question

在给定棋子数量和移动数的情况下，我想在河内塔问题的解决方案中找到第 n 个配置。

以下代码使用尾递归找到第 n 步：

  public static String N_th_Move(int k_discs, int move){
        return HanoiRec(k_discs, move, "A", "B", "C");
    }

    private static String HanoiRec(int k_discs, int move, String rod_a, String rod_b, String rod_c) {
        int max_n_moves = (int) (Math.pow(2, k_discs) - 1); 
        int bound =(int) Math.pow(2, k_discs - 1);
        if(move > max_n_moves){
            return "Not valid";
        } else if(move == bound ){
            return rod_a + " -> " + rod_b;
        } else if(move < bound){
            return HanoiRec(k_discs-1, move , rod_a, rod_c, rod_b);
        } else {
            return HanoiRec(k_discs-1, move - bound, rod_c, rod_b, rod_a);
        }
    }

如何使用相同的方法找到第 n 个配置？

例如：

N_th_configuation(3, 4) #{rod_a: 0, rod_b: 1, rod_c: 2}

添加：3张光盘的二叉树（按照上面的代码）：

                                (0  1  2)
                               /         \
                        (1 1 1)           (0 2 1)
                       /       \         /       \
                    (2 1 0)  (1 0 2)  (1 1 1)  (0 3 0)

其中第一个数字是 rod_a 上的圆盘数，第二个是 rod_b 上的，第三个是 rod_c 上的。 左下的叶子是第一次移动后的配置，右下的叶子是最后一次移动后的配置。 我没有找出所有配置之间的关系。

Answer 1

ToH 的典型解决方案是交替使用两种类型的移动：

1. 将最小的圆盘移动到下一个杆（环绕回到初始杆）
2. 做出一个不包含最小棋子的合法棋步。

wlog（不失一般性），让我们假设最小的圆盘总是移动到下一个更高编号的杆（标记为 0、1、2）。

这个算法的一个结果是奇数盘移动得更高；偶数圆盘向下移动。

另一个结果是您可以独立确定任何给定移动编号的光盘：它是该数字的二进制表示中的最低值1 位。例如，对于 3 盘问题：

Move  binary disc
  1     001    1
  2     010    2
  3     011    1
  4     100    3
  5     101    1
  6     110    2
  7     111    1

要找到匹配任何移动N的位置：

1. 将二进制文件分成单独的数字。
2. 屏蔽每个位中最右边的1 位。
3. 添加列。
4. 否定偶数列（以显示圆盘向相反方向移动。
5. 减少总模数 3。

结果是每个圆盘所在的列的列表。