计算严格递增的序列

Question

我将 N 根蜡烛从左到右对齐。从左边算起的第 i 个蜡烛的高度为 Hi 和颜色 Ci，一个从 1 到给定 K 的整数，即颜色的数量。

问题：有多少严格递增（高度）的彩色子序列？如果 K 种颜色中的每一种在子序列中至少出现一次，则该子序列被认为是彩色的。

For Ex: N=4 k= 3
      H   C
      1    1
      3    2  
      2    2
      4    3 

只有两个有效的子序列是 (1, 2, 4) 和 (1, 3, 4)

我认为这是 Fenwick Tree 的问题，请提供一种处理此类问题的方法

Answer 1

暂时，让我们忘记颜色。所以问题更简单：计算增加子序列的数量。这个问题有一个标准的解决方案：
1.将每个值映射到[0...n - 1]范围。
2. 假设f[value] 是具有value 作为最后一个元素的递增子序列的数量。
3. 最初f 填充为0。
4. 之后，从左到右遍历所有数组元素并执行以下操作：f[value] += 1 + get_sum(0, value - 1)（意味着将此元素添加到所有可能的子序列中，使它们保持严格递增），其中value 是数组的当前元素和get_sum(a, b) 返回f[a] + f[a + 1] + ... + f[b] 的总和。
5. 答案是f[0] + f[1] + ... + f[n - 1].
使用二叉索引树（又名 Fenwick 树），可以在O(log n) 中进行get_sum 操作，得到O(n log n) 的总时间复杂度。

现在让我们回到最初的问题。考虑到颜色，我们可以计算f[value, mask] 而不是f[value]（即以value 作为最后一个元素和mask（它是一个位掩码，显示哪些颜色是目前）颜色）。然后每个元素的更新如下所示：

for mask in [0...2^K - 1]:
     f[value, mask or 2^(color[i] - 1)] += 1 + get_sum(0, value - 1, mask)

答案是f[0, 2^K - 1] + f[1, 2^K - 1] + ... + f[n - 1, 2^K - 1]。

您可以使用与更简单问题相同的想法来维护2^K 二叉索引树以实现O(n * log n * 2^K) 时间复杂度。